الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
متّجه الوحدة: û = a/|a|
المركّبات من زاوية: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b: a·b/|b|
الشغل: W = F·d
الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
المساحات: متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O: M_O = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح: V = |a·(b × c)|

الطريقة

اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة: القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار: متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار: F = √(F_x² + F_y²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية: F_in·a = F_out·b
آلية المفصل الركبي: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣF_x = 0 وΣF_y = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة

أوجد قيمة k التي يكون عندها المتّجهان a = (5, −3, 1) و b = (−1, 5, k) متعامدين.

a = (5, −3, 1)b = (−1, 5, k)

k =

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة

متّجه الوحدة n̂ عمودي على a = (5, 0, −4) و b = (−5, 5, −4) كليهما وله مركّبة z موجبة. أوجد مركّبته x n̂_x.

a = (5, 0, −4)b = (−5, 5, −4)n̂_z > 0

n̂_x =

3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 3 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. أوجد ردّ الفعل الرأسي R_A، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

AB = 3 mAC = 4 mP₁ = 55 kN عند 1 mP₂ = 65 kN عند 4 m

R_A = kN

4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. يؤثّر حمل P على بعد 1 m من A، مائلًا بزاوية 40° عن الأفق، ويؤثّر حمل رأسي Q على بعد 5 m من A. أوجد مقدار قوة ردّ الفعل الكلية R_A عند المسمار A.

L = 8 mP = 75 kN عند 1 m, θ = 40°Q = 30 kN عند 5 m

R_A = kN

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 30 kN ↓C: 35 kN ↓G: 40 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو FC
13العضو HC

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 5 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 4 m عن Aالحمل الرأسي = 20 kNالحمل الأفقي = 5 kN →

F_AC = kN

7.الإطارات والآلاتمتوسطة

تدور الذراع الزاوية الموضحة حول المسمار O. تتوازن قوة رأسية 100 N عند A (على بُعد 150 mm من O) مع قوة أفقية عند B (على ارتفاع 60 mm فوق O). أوجد مقدار رد فعل المسمار F_O.

F = 100 NOA = 150 mmOB = 60 mm

F_O = N

8.الإطارات والآلاتصعبة

في مكبس ذي مفصل ركبي ذراعان متساويان AB وBC طول كل منهما 80 mm بين المسمارين. يقع المفصل B على ارتفاع 8 mm فوق الخط AC. ما القوة الهابطة F عند B التي تنتج قوة ضغط أفقية 5000 N عند المنزلق C؟ أهمل الاحتكاك والأوزان.

Q = 5000 NAB = BC = 80 mmh = 8 mm

F = N

9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 2,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 4 mw = 2 kN/m من 0 إلى 4 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام على جزء من بحرها. أوجد أقصى عزم انحناء M_max في الكمرة.

L = 8 mw = 6 kN/m من 2 إلى 8 m

M_max = kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

لوح أبعاده 200 mm × 200 mm فيه ثقب دائري قطره 30 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 60 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 200 mmh = 200 mmd = 30 mmمركز الثقب: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 30 kN·m. أوجد إجهاد الانحناء σ_الأسفل عند الحافة السفلية.

b_f = 300 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 160 mmM = 30 kN·m

σ_الأسفل = MPa

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: k = 20

الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ، وهو كمية قياسية. يعطي الزاوية بين متّجهين، cos θ = a·b/(|a|·|b|)، ويساوي صفرًا عندما يكونان متعامدين. المسقط القياسي لـ a على b هو a·b/|b|، والقوة الثابتة F التي تتحرّك خلال إزاحة d تبذل شغلًا W = F·d.

الضرب القياسي يساوي صفرًا

a·b = 5·(−1) + (−3)·5 + 1·k = 0

−20 + 1·k = 0

حلّ لإيجاد k

k = −(−20)/1 = 20

الإجابة

k = 20

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: n̂_x = 0,3904

الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) عمودي على المتّجهين كليهما، و |a × b| = |a|·|b|·sin θ هي مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدّدانه (والمثلث نصفها). الترتيب مهم: b × a = −(a × b). عزم القوة F المؤثّرة عند النقطة A حول النقطة O هو M_O = r × F، مع r = A − O.

الضرب الاتجاهي

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 0·(−4) − (−4)·5 = 20

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−4)·(−5) − 5·(−4) = 40

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 5·5 − 0·(−5) = 25

التسوية إلى الوحدة

المركّبة z لـ a × b موجبة أصلًا.

|a × b| = √(20² + 40² + 25²) = 51,23

n̂ = (20, 40, 25)/51,23 = (0,3904, 0,7807, 0,488)

n̂_x = 0,3904

الإجابة

n̂_x = 0,3904

3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 15 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

العزوم حول A

عكس عقارب الساعة موجب.

ΣM_A = 0: R_B·3 = 55·1 + 65·4

R_B = 315/3 = 105 kN

الاتزان الرأسي

R_A = 55 + 65 − 105 = 15 kN

الإجابة

R_A = 15 kN

4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 78,46 kN

مركّبتا P

P_v = 75·sin 40° = 48,21 kN

P_h = 75·cos 40° = 57,45 kN

ردود الأفعال

ΣM_A = 0: R_B·8 = 48,21·1 + 30·5 → R_B = 24,78 kN

A_y = 48,21 + 30 − 24,78 = 53,43 kN

A_x = P_h = 57,45 kN

المحصّلة عند A

R_A = √(57,45² + 53,43²) = 78,46 kN

الإجابة

R_A = 78,46 kN

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو DH

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة D

يقع CD وDE على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 45 kN (T), BC: 45 kN (T), CD: 33,75 kN (T), DE: 33,75 kN (T), FG: 67,5 kN (C), GH: 67,5 kN (C), AF: 75 kN (C), HE: 56,25 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 40 kN (C), DH: 0, FC: 37,5 kN (T), HC: 56,25 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: DH

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AC = 6,333 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 20·4 + 5·3 → C_y = 19 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 19 = 1 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −19/0,9487 = −20,03 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−20,03)·0,3162 = 6,333 kN

الإجابة

F_AC = 6,333 kN (شدّ)

7.الإطارات والآلات

الإجابة: F_O = 269,3 N

الآلات: تحوّل الزرادية والرافعات والوصلات والمشابك قوة دخل إلى قوة خرج أكبر أو بتوجيه مختلف. ارسم جزءًا واحدًا كجسم حر وخذ العزوم حول محوره: تسقط قوة المسمار، وتعطي F_in·a = F_out·b الفائدة الميكانيكية a/b. ثم تنتج قوة المسمار من ΣF = 0 على الجزء نفسه. وفي آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ؛ وكل ذراع عنصر ثنائي القوة، فتولّد قوة صغيرة F عند المفصل قوى كبيرة في الذراعين F/(2 sin θ) وقوة إطباق F/(2 tan θ).

القوة عند B

Q = 100·150/60 = 250 N

رد فعل المسمار

O_x = 250 N, O_y = 100 N

F_O = √(250² + 100²) = 269,3 N

الإجابة

F_O = 269,3 N

8.الإطارات والآلات

الإجابة: F = 1005 N

زاوية الذراع

sin θ = 8/80 = 0,1, θ = 5,739°

قوة الذراع

F_link = Q/cos θ = 5025 N

القوة عند B

F = 2·F_link·sin θ = 2·5000·tan θ = 1005 N

الإجابة

F = 1005 N

9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 3,75 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 2·4·2

R_B = 16/4 = 4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 8 − 4 = 4 kN

اقطع عند x = 2,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 4·2,5 − 2·2,5·1,25 = 3,75 kN·m

الإجابة

M_x = 3,75 kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 42,19 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN، تؤثّر عند x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 6·6·5

R_B = 180/8 = 22,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 22,5 = 13,5 kN

انعدام القص

تبدأ قوة القص عند R_A، وتبقى ثابتة على أي جزء غير محمَّل، وتتناقص بميل w داخل الحمل.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 13,5/6 = 4,25 m

أقصى عزم

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 2)²/2 = 13,5·4,25 − 6·2,25²/2 = 42,19 kN·m

الإجابة

M_max = 42,19 kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 132,1 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (40000·100 − 706,9·60)/(40000 − 706,9) = 100,7 mm

اللوح الكامل حول ȳ

200·200³/12 + 40000·−0,7196² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−40,72² = 1,212 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 132,1 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 132,1 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأسفل = 310,7 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 300·25 = 7500 mm², y_f = 160 + 25/2 = 172,5 mm

الجذع: A_w = 10·160 = 1600 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7500·172,5 + 1600·80)/9100 = 156,2 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 300·25³/12 + 7500·(172,5 − 156,2)² = 2,374 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 10·160³/12 + 1600·(80 − 156,2)² = 1,271 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,374 × 10⁶ + 1,271 × 10⁷ = 1,509 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة السفلية ȳ عن المحور.

y = 156,2 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·156,2/1,509 × 10⁷ = 310,7 MPa

الإجابة

σ_الأسفل = 310,7 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics