الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
متّجه الوحدة: û = a/|a|
المركّبات من زاوية: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b: a·b/|b|
الشغل: W = F·d
الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
المساحات: متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O: M_O = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح: V = |a·(b × c)|

الطريقة

اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة: القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار: متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار: F = √(F_x² + F_y²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية: F_in·a = F_out·b
آلية المفصل الركبي: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣF_x = 0 وΣF_y = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة

تؤثّر قوة ثابتة F = (15, 0, 5) N على جسم بينما يتحرّك في خط مستقيم من النقطة A(3, 5, 3) إلى النقطة B(2, 5, −2). الإحداثيات بالمتر. أوجد الشغل W الذي تبذله القوة.

F = (15, 0, 5) NA(3, 5, 3) mB(2, 5, −2) m

W = J

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة

أوجد حجم V متوازي السطوح الذي أضلاعه من رأس واحد a = (2, −3, 4) و b = (−5, 5, −4) و c = (−4, 1, 2).

a = (2, −3, 4)b = (−5, 5, −4)c = (−4, 1, 2)

V =

3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_B.

L = 6 mP₁ = 10 kN عند 1 mP₂ = 50 kN عند 5 m

R_B = kN

4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

كمرة مركّبة مثبَّتة في الجدار عند A، لها مفصل داخلي عند C (على بعد 3 m من A) وترتكز على بكرة عند D (على بعد 8 m من A). تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 7 m من A. أوجد مقدار عزم ردّ الفعل M_A عند الجدار.

AC = 3 mAD = 8 mP = 80 kN عند 7 m

M_A = kN·m

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 6 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 5 m عن Aالحمل الرأسي = 15 kN

F_AC = kN

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 10 kN ↓D: 20 kN ↓F: 30 kN ↓F: 40 kN →G: 30 kN ↓H: 40 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو BG
13العضو DG

7.الإطارات والآلاتمتوسطة

يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 6 m، ومسمار قمته C على ارتفاع 3,6 m والرباط الأفقي DE على ارتفاع 1,2 m فوق الأرض. يؤثر حمل رأسي 5 kN على الساق AC عند K التي تبعد 1,8 m (أفقيًا) عن A. أوجد قوة الشد T في الرباط.

P = 5 kNAB = 6 mارتفاع C = 3,6 mارتفاع DE = 1,2 mالمسافة الأفقية من A إلى K = 1,8 m

T = kN

8.الإطارات والآلاتصعبة

يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 3 m. تلتقي الساقان عند المسمار C على ارتفاع 2,5 m، ويربطهما القضيب الأفقي DE على ارتفاع 1,5 m. تؤثر قوة أفقية 4 kN نحو اليمين عند C. أوجد قوة الشد T في الرباط.

P = 4 kNAB = 3 mارتفاع C = 2,5 mارتفاع DE = 1,5 m

T = kN

9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

الكابولي مثبَّت عند A. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله وحملًا مركّزًا P على بعد 1,5 m من A. أوجد عزم الانحناء M_A عند الركيزة المثبَّتة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 2 mP = 60 kN عند 1,5 mw = 2 kN/m من 0 إلى 2 m

M_A = kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 1 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 8 mP = 30 kN عند 1 mw = 10 kN/m من 0 إلى 8 mx = 1 m

M_x = kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 220 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

لوح أبعاده 120 mm × 300 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 80 mm وارتفاعها 50 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 195 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 120 mmh = 300 mmالفتحة: 80 × 50 mmمركز الثقب: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: W = −40 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

الإزاحة

d = B − A = (2, 5, −2) − (3, 5, 3) = (−1, 0, −5) m

الشغل

W = F·d = 15·(−1) + 0·0 + 5·(−5) = −40 J

الإجابة

W = −40 J

شغل سالب: القوة تؤثّر في الغالب عكس الحركة.

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: V = 10

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

الضرب الاتجاهي b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 5·2 − (−4)·1 = 14

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−4)·(−4) − (−5)·2 = 26

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−5)·1 − 5·(−4) = 15

الضرب القياسي مع a

a·(b × c) = 2·14 + (−3)·26 + 4·15 = 10

V = |10| = 10

الإجابة

V = 10

3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 43,33 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·1 + 50·5

R_B = 260/6 = 43,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 43,33 = 16,67 kN

الإجابة

R_B = 43,33 kN

4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: M_A = 48 kN·m

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة. المفصل الداخلي لا يستطيع نقل عزم انحناء، وهذا يعطي معادلة إضافية: عزم القوى على أيٍّ من الجانبين حول المفصل يساوي صفرًا.

الجزء CD

المفصل ليس له عزم، لذا يجب أن تتوازن العزوم حول C على CD وحده.

ΣM_C = 0: R_D·5 = 80·4

R_D = 64 kN

V_C = 80 − 64 = 16 kN

الجزء AC

قوة المفصل V_C تؤثّر إلى الأسفل على AC (مساوية ومعاكسة لتأثيرها على CD).

R_A = 16 = 16 kN

M_A = 16·3 = 48 kN·m

الإجابة

M_A = 48 kN·m

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AC = 4,167 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 15·5 → C_y = 12,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 12,5 = 2,5 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −12,5/0,9487 = −13,18 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−13,18)·0,3162 = 4,167 kN

الإجابة

F_AC = 4,167 kN (شدّ)

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 90 kN (T), BC: 100 kN (T), CD: 100 kN (T), DE: 80 kN (T), FG: 90 kN (C), GH: 80 kN (C), AF: 70,71 kN (C), HE: 113,1 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 40 kN (T), BG: 14,14 kN (C), DG: 28,28 kN (C)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG

7.الإطارات والآلات

الإجابة: T = 1,875 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣF_x = 0 وΣF_y = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

الإطار كاملًا: العزوم حول A

B_y = 5·1,8/6 = 1,5 kN

الساق BC: العزوم حول C

1,5·3 = T·2,4

T = 1,875 kN

الإجابة

T = 1,875 kN

8.الإطارات والآلات

الإجابة: T = 5 kN

الإطار كاملًا: العزوم حول A

B_y·3 = 4·2,5

B_y = 3,333 kN

الساق BC: العزوم حول C

3,333·1,5 = T·1

T = 5 kN

الإجابة

T = 5 kN

القيمة الموجبة لـ T تعني أن الرباط في شدّ، كما افتُرض.

9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_A = −94 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

احتفظ بجزء الطرف الحر

P: −60·1,5 = −90 kN·m

w: −2·2²/2 = −4 kN·m

M_A = −90 − 4 = −94 kN·m

الإجابة

M_A = −94 kN·m

الإشارة السالبة تعني التحدّب: شدّ على الوجه العلوي.

10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 61,25 kN·m

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·1 + 10·8·4

R_B = 350/8 = 43,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 43,75 = 66,25 kN

اقطع عند x = 1 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 66,25·1 − 10·1·0,5 = 61,25 kN·m

الإجابة

M_x = 61,25 kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 70,33 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 220·30 = 6600 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

الجذع: A_w = 14·260 = 3640 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6600·275 + 3640·130)/10240 = 223,5 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 220·30³/12 + 6600·(275 − 223,5)² = 1,803 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 14·260³/12 + 3640·(130 − 223,5)² = 5,23 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,803 × 10⁷ + 5,23 × 10⁷ = 7,033 × 10⁷ mm⁴ = 70,33 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 70,33 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 260,1 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (36000·150 − 4000·195)/(36000 − 4000) = 144,4 mm

اللوح الكامل حول ȳ

120·300³/12 + 36000·5,625² = 271,1 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

80·50³/12 + 4000·50,63² = 11,08 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 260,1 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 260,1 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics