الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
متّجه الوحدة: û = a/|a|
المركّبات من زاوية: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b: a·b/|b|
الشغل: W = F·d
الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
المساحات: متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O: M_O = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح: V = |a·(b × c)|

الطريقة

اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة: القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار: متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار: F = √(F_x² + F_y²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية: F_in·a = F_out·b
آلية المفصل الركبي: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣF_x = 0 وΣF_y = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة

أوجد المسقط القياسي comp_b a لـ a = (−5, 7, −4) على b = (−2, −5, 0)، أي مركّبة a في اتجاه b.

a = (−5, 7, −4)b = (−2, −5, 0)

comp_b a =

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة

أوجد حجم V متوازي السطوح الذي أضلاعه من رأس واحد a = (−2, 0, −4) و b = (−2, 2, 3) و c = (4, 0, −1).

a = (−2, 0, −4)b = (−2, 2, 3)c = (4, 0, −1)

V =

3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 4 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. أوجد ردّ الفعل الرأسي R_B، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

AB = 4 mAC = 6 mP₁ = 40 kN عند 3,5 mP₂ = 50 kN عند 6 m

R_B = kN

4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_A.

L = 8 mP = 10 kN عند 4 mw = 6 kN/m من 2 إلى 5 m

R_A = kN

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 30 kN ↓D: 40 kN ↓F: 25 kN ↓H: 10 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو BG
13العضو DG

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

F: 40 kN →

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو BG
13العضو DG

7.الإطارات والآلاتمتوسطة

يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 3,2 m. تلتقي الساقان عند المسمار C على ارتفاع 4 m، والرباط الأفقي DE على ارتفاع 0,8 m فوق الأرض. يؤثر حمل 15 kN عند C. أوجد مقدار القوة C التي يؤثر بها المسمار C على الساق BC.

P = 15 kNAB = 3,2 mارتفاع C = 4 mارتفاع DE = 0,8 m

C = kN

8.الإطارات والآلاتصعبة

في مكبس ذي مفصل ركبي ذراعان متساويان AB وBC طول كل منهما 200 mm بين المسمارين. يقع المفصل B على ارتفاع 8 mm فوق الخط AC. ما القوة الهابطة F عند B التي تنتج قوة ضغط أفقية 2000 N عند المنزلق C؟ أهمل الاحتكاك والأوزان.

Q = 2000 NAB = BC = 200 mmh = 8 mm

F = N

9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل ازدواجًا باتجاه عقارب الساعة M₀ = 35 kN·m عند x = 5 m من A، ولا يوجد حمل آخر. أوجد عزم الانحناء M_x يمين الازدواج مباشرةً. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 8 mM₀ = 35 kN·m باتجاه عقارب الساعة، عند 5 m

M_x = kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

35 kN @ 0 m20 kN @ 6 m40 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

مقطع مجرى موضوع وجانبه المفتوح إلى الأعلى: لوح قاعدة عرضه 300 mm مع ساقين قائمتين، ارتفاعه الكلي 100 mm. سُمك القاعدة والساقين كلها 12 mm. أوجد عزم قصوره الذاتي I_x حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b = 300 mmh = 100 mmt = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 50 kN·m. أوجد إجهاد الانحناء σ_الأسفل عند الحافة السفلية.

b_f = 260 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 220 mmM = 50 kN·m

σ_الأسفل = MPa

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: comp_b a = −4,642

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

الضرب القياسي

a·b = (−5)·(−2) + 7·(−5) + (−4)·0 = −25

طول b

|b| = √((−2)² + (−5)² + 0²) = 5,385

المسقط القياسي

comp_b a = a·b/|b| = −25/5,385 = −4,642

الإجابة

comp_b a = −4,642

سالب: لـ a مركّبة تشير عكس b.

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: V = 36

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

الضرب الاتجاهي b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 2·(−1) − 3·0 = −2

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 3·4 − (−2)·(−1) = 10

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−2)·0 − 2·4 = −8

الضرب القياسي مع a

a·(b × c) = (−2)·(−2) + 0·10 + (−4)·(−8) = 36

V = |36| = 36

الإجابة

V = 36

3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 110 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

العزوم حول A

عكس عقارب الساعة موجب.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·3,5 + 50·6

R_B = 440/4 = 110 kN

الاتزان الرأسي

R_A = 40 + 50 − 110 = −20 kN

الإجابة

R_B = 110 kN

R_A سالب: على المسمار عند A أن يمسك الكمرة إلى الأسفل.

4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 15,13 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 6·3 = 18 kN، تؤثّر عند x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·4 + 6·3·3,5

R_B = 103/8 = 12,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 28 − 12,88 = 15,13 kN

الإجابة

R_A = 15,13 kN

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 53,75 kN (T), BC: 52,5 kN (T), CD: 52,5 kN (T), DE: 51,25 kN (T), FG: 53,75 kN (C), GH: 51,25 kN (C), AF: 76,01 kN (C), HE: 72,48 kN (C), BF: 28,75 kN (T), CG: 0, DH: 41,25 kN (T), BG: 1,768 kN (T), DG: 1,768 kN (C)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 30 kN (T), BC: 20 kN (T), CD: 20 kN (T), DE: 10 kN (T), FG: 30 kN (C), GH: 10 kN (C), AF: 16,67 kN (T), HE: 16,67 kN (C), BF: 13,33 kN (C), CG: 0, DH: 13,33 kN (T), BG: 16,67 kN (T), DG: 16,67 kN (C)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG

7.الإطارات والآلات

الإجابة: C = 8,385 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣF_x = 0 وΣF_y = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

قوة الرباط من الساق BC

B_y = 7,5 kN

T = 7,5·1,6/3,2 = 3,75 kN

مركّبتا قوة المسمار على BC

C_x = T = 3,75 kN, C_y = −B_y = −7,5 kN

المقدار

C = √(3,75² + 7,5²) = 8,385 kN

الإجابة

C = 8,385 kN

8.الإطارات والآلات

الإجابة: F = 160,1 N

الآلات: تحوّل الزرادية والرافعات والوصلات والمشابك قوة دخل إلى قوة خرج أكبر أو بتوجيه مختلف. ارسم جزءًا واحدًا كجسم حر وخذ العزوم حول محوره: تسقط قوة المسمار، وتعطي F_in·a = F_out·b الفائدة الميكانيكية a/b. ثم تنتج قوة المسمار من ΣF = 0 على الجزء نفسه. وفي آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ؛ وكل ذراع عنصر ثنائي القوة، فتولّد قوة صغيرة F عند المفصل قوى كبيرة في الذراعين F/(2 sin θ) وقوة إطباق F/(2 tan θ).

زاوية الذراع

sin θ = 8/200 = 0,04, θ = 2,292°

قوة الذراع

F_link = Q/cos θ = 2002 N

القوة عند B

F = 2·F_link·sin θ = 2·2000·tan θ = 160,1 N

الإجابة

F = 160,1 N

9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 13,13 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. الازدواج المؤثّر يجعل مخطط عزم الانحناء يقفز بمقدار الازدواج.

ردود أفعال الركائز

العزوم حول A، عكس عقارب الساعة موجب: R_B·L − M₀ = 0. الاتزان الرأسي: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 35/8 = 4,375 kN (إلى الأعلى)

R_A = −R_B = −4,375 kN (إلى الأسفل)

اقطع يمين الازدواج مباشرةً

يحتوي الجزء الأيسر الآن على R_A والازدواج.

M_x = R_A·a + M₀ = −4,375·5 + 35 = 13,13 kN·m

الإجابة

M_x = 13,13 kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: B (x = 1 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 48,75 kN, R₂ = 46,25 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = −35 kN·m, M_C = −21,25, M_D = −7,5, M_E = 6,25, M_F = −20, M_G = 0

الإجابة

علامة B: M_B = −35 kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 4,734 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلات

خذ القاعدة بكامل عرضها والساقين فوقها (بارتفاع h − t)، حتى لا يُحسب شيء مرتين.

القاعدة: A₁ = 300·12 = 3600 mm², y₁ = 6 mm

الساقان: A₂ = 2·12·88 = 2112 mm², y₂ = 12 + 88/2 = 56 mm

المركز

ȳ = (3600·6 + 2112·56)/5712 = 24,49 mm

نظرية المحور الموازي

القاعدة: 300·12³/12 + 3600·(6 − 24,49)² = 1,274 × 10⁶ mm⁴

الساقان: 2·12·88³/12 + 2112·(56 − 24,49)² = 3,46 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,274 × 10⁶ + 3,46 × 10⁶

I_x = 4,734 × 10⁶ mm⁴ = 4,734 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 4,734 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأسفل = 277,4 MPa

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 260·15 = 3900 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227,5 mm

الجذع: A_w = 12·220 = 2640 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3900·227,5 + 2640·110)/6540 = 180,1 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 260·15³/12 + 3900·(227,5 − 180,1)² = 8,847 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 12·220³/12 + 2640·(110 − 180,1)² = 2,361 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,847 × 10⁶ + 2,361 × 10⁷ = 3,246 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة السفلية ȳ عن المحور.

y = 180,1 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·180,1/3,246 × 10⁷ = 277,4 MPa

الإجابة

σ_الأسفل = 277,4 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics