استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FAC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.
البحر = 8 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 2 m عن Aالحمل الرأسي = 25 kNالحمل الأفقي = 5 kN ←
FAC = kN
7.الإطارات والآلاتمتوسطة
تدور الذراع الزاوية الموضحة حول المسمار O. تتوازن قوة رأسية 250 N عند A (على بُعد 100 mm من O) مع قوة أفقية عند B (على ارتفاع 150 mm فوق O). أوجد مقدار رد فعل المسمار FO.
F = 250 NOA = 100 mmOB = 150 mm
FO = N
8.الإطارات والآلاتصعبة
يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 3,2 m، ومسمار قمته C على ارتفاع 4,5 m والرباط الأفقي DE على ارتفاع 1,8 m فوق الأرض. يؤثر حمل رأسي 5 kN على الساق AC عند K التي تبعد 0,4 m (أفقيًا) عن A. أوجد مقدار القوة C التي يؤثر بها المسمار C على الساق BC.
P = 5 kNAB = 3,2 mارتفاع C = 4,5 mارتفاع DE = 1,8 mالمسافة الأفقية من A إلى K = 0,4 m
C = kN
9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل ازدواجًا باتجاه عقارب الساعة M0 = 40 kN·m عند x = 3 m من A، ولا يوجد حمل آخر. أوجد عزم الانحناء Mx يمين الازدواج مباشرةً. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.
L = 10 mM0 = 40 kN·m باتجاه عقارب الساعة، عند 3 m
Mx = kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.
25 kN @ 12 m35 kN @ 6 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
أوجد عزم القصور الذاتي Ix لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.
bf = 200 mmtf = 15 mmtw = 16 mmhw = 160 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
كمرة من الحديد الزهر لها مقطع T الموضّح، والشفة في الأعلى. الإجهادات المسموحة 60 MPa في الشد و 150 MPa في الضغط. أوجد أكبر عزم انحناء سالب (تحدّب) Mallow يمكن أن تتحمّله الكمرة (أعطِ مقداره).
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
الضرب القياسي
a·b = (−5)·(−4) + (−6)·(−2) + (−1)·0 = 32
المقداران
|a| = √((−5)² + (−6)² + (−1)²) = 7,874
|b| = √((−4)² + (−2)² + 0²) = 4,472
الزاوية
cos θ = 32/(7,874·4,472) = 0,9087
θ = arccos(0,9087) = 24,67°
الإجابة
θ = 24,67°
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي
الإجابة: My = 170 N·m
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.
مخطط الجسم الحر
استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.
الاتزان
العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.
ΣMA = 0: RB·10 = 45·3 + 60·8
RB = 615/10 = 61,5 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 61,5 = 43,5 kN
الإجابة
RB = 61,5 kN
4.ردود أفعال ركائز الكمرات
الإجابة: RB = 10,38 kN
الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.
مخطط الجسم الحر
استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.
الاتزان
العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.
محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 2·1 = 2 kN، تؤثّر عند x̄ = 6,5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 10·7 + 2·1·6,5
RB = 83/8 = 10,38 kN
ΣFy = 0: RA = 12 − 10,38 = 1,625 kN
الإجابة
RB = 10,38 kN
5.الجملون: طريقة العقد
الإجابة: العضو DH
أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.
العقدة D
يقع CD وDE على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
تحقق بطريقة العقد
حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).
طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.
ردود أفعال الركائز
اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.
ΣMA = 0: Cy·8 = 25·2 − 5·3 → Cy = 4,375 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 4,375 = 20,63 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN
العقدة C
البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.
sin γ = 3/6,708 = 0,4472, cos γ = 6/6,708 = 0,8944
الآلات: تحوّل الزرادية والرافعات والوصلات والمشابك قوة دخل إلى قوة خرج أكبر أو بتوجيه مختلف. ارسم جزءًا واحدًا كجسم حر وخذ العزوم حول محوره: تسقط قوة المسمار، وتعطي Fin·a = Fout·b الفائدة الميكانيكية a/b. ثم تنتج قوة المسمار من ΣF = 0 على الجزء نفسه. وفي آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ؛ وكل ذراع عنصر ثنائي القوة، فتولّد قوة صغيرة F عند المفصل قوى كبيرة في الذراعين F/(2 sin θ) وقوة إطباق F/(2 tan θ).
القوة عند B
Q = 250·100/150 = 166,7 N
رد فعل المسمار
Ox = 166,7 N, Oy = 250 N
FO = √(166,7² + 250²) = 300,5 N
الإجابة
FO = 300,5 N
8.الإطارات والآلات
الإجابة: C = 0,7265 kN
الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.
رد فعل المسند عند B
By = 5·0,4/3,2 = 0,625 kN
قوة الرباط
T = 0,625·1,6/2,7 = 0,3704 kN
قوة المسمار على BC
Cx = 0,3704 kN, Cy = −0,625 kN
C = √(0,3704² + 0,625²) = 0,7265 kN
الإجابة
C = 0,7265 kN
9.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: Mx = 28 kN·m
طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. الازدواج المؤثّر يجعل مخطط عزم الانحناء يقفز بمقدار الازدواج.
ردود أفعال الركائز
العزوم حول A، عكس عقارب الساعة موجب: RB·L − M0 = 0. الاتزان الرأسي: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 40/10 = 4 kN (إلى الأعلى)
RA = −RB = −4 kN (إلى الأسفل)
اقطع يمين الازدواج مباشرةً
يحتوي الجزء الأيسر الآن على RA والازدواج.
Mx = RA·a + M0 = −4·3 + 40 = 28 kN·m
الإجابة
Mx = 28 kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: D (x = 6 m)
أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.
ردود أفعال الركائز
خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.
R1 = 9 kN, R2 = 51 kN
عزم الانحناء عند كل علامة
اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.
MA = 0, MB = 18, MC = 36, MD = 54 kN·m, ME = 2, MF = −50, MG = 0
الإجابة
علامة D: MD = 54 kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتي
الإجابة: Ix = 16,09 × 10⁶ mm⁴
المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.
قسّم إلى مستطيلين
قِس كل y من الحافة السفلية.
الشفة: Af = 200·15 = 3000 mm², yf = 160 + 15/2 = 167,5 mm
المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.