الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
متّجه الوحدة: û = a/|a|
المركّبات من زاوية: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b: a·b/|b|
الشغل: W = F·d
الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
المساحات: متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O: M_O = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح: V = |a·(b × c)|

الطريقة

اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة: القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار: متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار: F = √(F_x² + F_y²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية: F_in·a = F_out·b
آلية المفصل الركبي: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣF_x = 0 وΣF_y = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة

أوجد قيمة k التي يكون عندها المتّجهان a = (3, 2, 2) و b = (k, 3, −6) متعامدين.

a = (3, 2, 2)b = (k, 3, −6)

k =

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة

للمتّجهين a = (0, 2, 1) و b = (−6, 5, −1)، أوجد المركّبة x (a × b)_x للضرب الاتجاهي a × b.

a = (0, 2, 1)b = (−6, 5, −1)

(a × b)_x =

3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

الكمرة الكابولية مثبَّتة في الجدار عند A. تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w من الجدار حتى 2,5 m وحملًا مركّزًا P على بعد 5,5 m من الجدار. أوجد مقدار عزم ردّ الفعل M_A عند الجدار.

L = 6 mP = 60 kN عند 5,5 mw = 5 kN/m من 0 إلى 2,5 m

M_A = kN·m

4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_B.

L = 5 mP = 55 kN عند 4 mw = 6 kN/m من 0 إلى 2 m

R_B = kN

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_BC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 8 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 3 m عن Aالحمل الرأسي = 60 kN

F_BC = kN

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 8 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 2 m عن Aالحمل الرأسي = 10 kNالحمل الأفقي = 20 kN →

F_AC = kN

7.الإطارات والآلاتمتوسطة

في مشبك المفصل الركبي الموضح، يرتبط الذراعان المتساويان AB وBC بمسمار عند B، ويصنع كل منهما زاوية 25° مع الخط AC. تؤثر قوة هابطة 300 N عند B. يضغط المنزلق C قطعة عمل. بإهمال الاحتكاك والأوزان، أوجد قوة الإطباق الأفقية Q.

F = 300 Nθ = 25°

Q = N

8.الإطارات والآلاتصعبة

يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 4,8 m، ومسمار قمته C على ارتفاع 3 m والرباط الأفقي DE على ارتفاع 1 m فوق الأرض. يؤثر حمل رأسي 15 kN على الساق AC عند K التي تبعد 1,44 m (أفقيًا) عن A. أوجد مقدار القوة C التي يؤثر بها المسمار C على الساق BC.

P = 15 kNAB = 4,8 mارتفاع C = 3 mارتفاع DE = 1 mالمسافة الأفقية من A إلى K = 1,44 m

C = kN

9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

50 kN @ 2 m15 kN/m, 4–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 3,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 6 mP = 55 kN عند 3 mw = 10 kN/m من 0 إلى 6 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

مقطع مستطيل مجوّف (صندوقي) عرضه الخارجي B = 200 mm، وارتفاعه الخارجي H = 200 mm، وسُمك جداره المنتظم t = 8 mm. أوجد نصف قطر الدوران r حول المحور المركزي الأفقي.

B = 200 mmH = 200 mmt = 8 mm

r = mm

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 15 kN·m. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σ_الأعلى عند الحافة العلوية.

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 140 mmM = 15 kN·m

σ_الأعلى = MPa

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: k = 2

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

الضرب القياسي يساوي صفرًا

a·b = 3·k + 2·3 + 2·(−6) = 0

−6 + 3·k = 0

حلّ لإيجاد k

k = −(−6)/3 = 2

الإجابة

k = 2

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: (a × b)_x = −7

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

الضرب الاتجاهي، مركّبةً مركّبة

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 2·(−1) − 1·5 = −7

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 1·(−6) − 0·(−1) = −6

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 0·5 − 2·(−6) = 12

المركّبة المطلوبة

(a × b)_x = −7

الإجابة

(a × b)_x = −7

تحقّق: a × b عمودي على المتّجهين كليهما، لذا ضربه القياسي مع a ومع b صفر.

3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: M_A = 345,6 kN·m

اتزان الكابولي: الركيزة المثبَّتة تستطيع الدفع إلى الأعلى ومقاومة الدوران أيضًا، لذا تعطي ردّ فعل رأسيًا R_A وعزم ردّ فعل M_A. ΣF_y = 0 يعطي R_A، والعزوم حول الجدار تعطي M_A = Σ(الحمل × البعد عن الجدار). الحمل الموزّع يؤثّر كمحصّلته في مركز مخطط الحمل.

محصّلة الحمل الموزّع

W = 5·2,5 = 12,5 kN, x̄ = 1,25 m

العزم حول الجدار

M_A = P·a + W·x̄ = 60·5,5 + 12,5·1,25 = 345,6 kN·m

الإجابة

M_A = 345,6 kN·m

4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 46,4 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN، تؤثّر عند x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·4 + 6·2·1

R_B = 232/5 = 46,4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 67 − 46,4 = 20,6 kN

الإجابة

R_B = 46,4 kN

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_BC = −36,02 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 60·3 → C_y = 22,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 22,5 = 37,5 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 4/6,403 = 0,6247, cos γ = 5/6,403 = 0,7809

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −22,5/0,6247 = −36,02 kN

الإجابة

F_BC = −36,02 kN (ضغط)

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AC = 18,75 kN

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 10·2 + 20·4 → C_y = 12,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 12,5 = −2,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 4/7,211 = 0,5547, cos γ = 6/7,211 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −12,5/0,5547 = −22,53 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−22,53)·0,8321 = 18,75 kN

الإجابة

F_AC = 18,75 kN (شدّ)

7.الإطارات والآلات

الإجابة: Q = 321,7 N

الآلات: تحوّل الزرادية والرافعات والوصلات والمشابك قوة دخل إلى قوة خرج أكبر أو بتوجيه مختلف. ارسم جزءًا واحدًا كجسم حر وخذ العزوم حول محوره: تسقط قوة المسمار، وتعطي F_in·a = F_out·b الفائدة الميكانيكية a/b. ثم تنتج قوة المسمار من ΣF = 0 على الجزء نفسه. وفي آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ؛ وكل ذراع عنصر ثنائي القوة، فتولّد قوة صغيرة F عند المفصل قوى كبيرة في الذراعين F/(2 sin θ) وقوة إطباق F/(2 tan θ).

اتزان المسمار B

2·F_link·sin 25° = 300

F_link = 354,9 N

قوة الإطباق

Q = F_link·cos 25° = 300/(2·tan 25°) = 321,7 N

الإجابة

Q = 321,7 N

نسبة القوى Q/F = 1,072 تكبر بلا حدود كلما استقام الذراعان.

8.الإطارات والآلات

الإجابة: C = 7,029 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣF_x = 0 وΣF_y = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

رد فعل المسند عند B

B_y = 15·1,44/4,8 = 4,5 kN

قوة الرباط

T = 4,5·2,4/2 = 5,4 kN

قوة المسمار على BC

C_x = 5,4 kN, C_y = −4,5 kN

C = √(5,4² + 4,5²) = 7,029 kN

الإجابة

C = 7,029 kN

9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: D (x = 6 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 79,17 kN, R₂ = 60,83 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 158,3, M_C = 216,7, M_D = 245 kN·m, M_E = 213,3, M_F = 121,7, M_G = 0

الإجابة

علامة D: M_D = 245 kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 112,5 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·3 + 10·6·3

R_B = 345/6 = 57,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 57,5 = 57,5 kN

اقطع عند x = 3,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 57,5·3,5 − 55·(3,5 − 3) − 10·3,5·1,75 = 112,5 kN·m

الإجابة

M_x = 112,5 kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: r = 78,45 mm

عزم القصور الذاتي: للمستطيل حول محوره المركزي I = bh³/12، وحول قاعدته bh³/3 (نظرية المحور الموازي I = I_c + A·d²). يُعالَج الثقب بطرح عزم قصوره I، بشرط أن يشترك الجزءان في المحور نفسه. معامل المقطع المرن S = I/c، حيث c هي المسافة إلى الليف الأبعد. نصف قطر الدوران r = √(I/A) هو المسافة التي لو تركّزت عندها المساحة كلها لأعطت I نفسه؛ ويُستخدم في انبعاج الأعمدة.

المساحة الصافية وعزم القصور الذاتي

b = 184 mm, h = 184 mm

A = BH − bh = 200·200 − 184·184 = 6144 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 3,781 × 10⁷ mm⁴

نصف قطر الدوران

r = √(I/A) = √(3,781 × 10⁷/6144) = 78,45 mm

الإجابة

r = 78,45 mm

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأعلى = 46,46 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 240·15 = 3600 mm², y_f = 140 + 15/2 = 147,5 mm

الجذع: A_w = 16·140 = 2240 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·147,5 + 2240·70)/5840 = 117,8 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 240·15³/12 + 3600·(147,5 − 117,8)² = 3,249 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 16·140³/12 + 2240·(70 − 117,8)² = 8,771 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,249 × 10⁶ + 8,771 × 10⁶ = 1,202 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة العلوية h − ȳ عن المحور.

y = 155 − 117,8 = 37,23 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·37,23/1,202 × 10⁷ = 46,46 MPa

الإجابة

σ_الأعلى = 46,46 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics