الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
متّجه الوحدة: û = a/|a|
المركّبات من زاوية: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b: a·b/|b|
الشغل: W = F·d
الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
المساحات: متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O: M_O = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح: V = |a·(b × c)|

الطريقة

اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة: القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار: متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار: F = √(F_x² + F_y²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية: F_in·a = F_out·b
آلية المفصل الركبي: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣF_x = 0 وΣF_y = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة

تؤثّر قوة ثابتة F = (25, −15, −10) N على جسم بينما يتحرّك في خط مستقيم من النقطة A(2, 0, 1) إلى النقطة B(−4, −4, −1). الإحداثيات بالمتر. أوجد الشغل W الذي تبذله القوة.

F = (25, −15, −10) NA(2, 0, 1) mB(−4, −4, −1) m

W = J

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة

تؤثّر قوة F = (−30, −50, 30) N عند النقطة A(1, −4, −1). الإحداثيات بالمتر. أوجد المركّبة y M_y لعزم القوة حول النقطة O(−2, −1, 3).

F = (−30, −50, 30) NA(1, −4, −1) mO(−2, −1, 3) m

M_y = N·m

3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_A.

L = 6 mP₁ = 15 kN عند 1 mP₂ = 30 kN عند 3,5 m

R_A = kN

4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

الكمرة الكابولية مثبَّتة في الجدار عند A. تحمل حملًا متغيّرًا خطيًا شدته صفر عند الجدار ويرتفع إلى 15 kN/m عند الطرف الحر B، إضافةً إلى حمل مركّز P على بعد 5 m من الجدار. أوجد مقدار عزم ردّ الفعل M_A عند الجدار.

L = 5 mw₀ = 15 kN/mP = 45 kN عند 5 m

M_A = kN·m

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 15 kN ↓C: 40 kN ↓G: 15 kN ↓H: 15 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو FC
13العضو HC

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_BC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 6 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 1 m عن Aالحمل الرأسي = 15 kNالحمل الأفقي = 10 kN ←

F_BC = kN

7.الإطارات والآلاتمتوسطة

للإطار الموضح مسامير عند A وB وC؛ النقطتان A وC مثبتتان بالأرض والمسافة بينهما 3 m، والنقطة B على ارتفاع 2 m فوق الأرض وعلى بُعد 0,45 m إلى يمين A. يؤثر حمل رأسي 5 kN على العنصر AB عند K التي تبعد 0,27 m (أفقيًا) عن A. أوجد القوة F_BC في العنصر BC.

P = 5 kNL = 3 mH = 2 mالمسافة الأفقية من A إلى B = 0,45 mالمسافة الأفقية من A إلى K = 0,27 m

F_BC = kN

8.الإطارات والآلاتصعبة

يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 5 m، ومسمار قمته C على ارتفاع 2,4 m والرباط الأفقي DE على ارتفاع 1,2 m فوق الأرض. يؤثر حمل رأسي 15 kN على الساق AC عند K التي تبعد 0,625 m (أفقيًا) عن A. أوجد مقدار القوة C التي يؤثر بها المسمار C على الساق BC.

P = 15 kNAB = 5 mارتفاع C = 2,4 mارتفاع DE = 1,2 mالمسافة الأفقية من A إلى K = 0,625 m

C = kN

9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل ازدواجًا باتجاه عقارب الساعة M₀ = 60 kN·m عند x = 2 m من A، ولا يوجد حمل آخر. أوجد عزم الانحناء M_x يمين الازدواج مباشرةً. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 10 mM₀ = 60 kN·m باتجاه عقارب الساعة، عند 2 m

M_x = kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام على جزء من بحرها. أوجد أقصى عزم انحناء M_max في الكمرة.

L = 8 mw = 10 kN/m من 0 إلى 4 m

M_max = kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

لوح أبعاده 150 mm × 300 mm فيه ثقب دائري قطره 50 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 120 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 150 mmh = 300 mmd = 50 mmمركز الثقب: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 30 kN·m. أوجد إجهاد الانحناء σ_الأسفل عند الحافة السفلية.

b_f = 160 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 280 mmM = 30 kN·m

σ_الأسفل = MPa

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: W = −70 J

الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ، وهو كمية قياسية. يعطي الزاوية بين متّجهين، cos θ = a·b/(|a|·|b|)، ويساوي صفرًا عندما يكونان متعامدين. المسقط القياسي لـ a على b هو a·b/|b|، والقوة الثابتة F التي تتحرّك خلال إزاحة d تبذل شغلًا W = F·d.

الإزاحة

d = B − A = (−4, −4, −1) − (2, 0, 1) = (−6, −4, −2) m

الشغل

W = F·d = 25·(−6) + (−15)·(−4) + (−10)·(−2) = −70 J

الإجابة

W = −70 J

شغل سالب: القوة تؤثّر في الغالب عكس الحركة.

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: M_y = 30 N·m

الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) عمودي على المتّجهين كليهما، و |a × b| = |a|·|b|·sin θ هي مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدّدانه (والمثلث نصفها). الترتيب مهم: b × a = −(a × b). عزم القوة F المؤثّرة عند النقطة A حول النقطة O هو M_O = r × F، مع r = A − O.

متّجه الموضع من O إلى A

r = A − O = (1, −4, −1) − (−2, −1, 3) = (3, −3, −4) m

العزم M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−3)·30 − (−4)·(−50) = −290 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−4)·(−30) − 3·30 = 30 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 3·(−50) − (−3)·(−30) = −240 N·m

المركّبة المطلوبة

M_y = 30 N·m

الإجابة

M_y = 30 N·m

3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 25 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·1 + 30·3,5

R_B = 120/6 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 20 = 25 kN

الإجابة

R_A = 25 kN

4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: M_A = 350 kN·m

اتزان الكابولي: الركيزة المثبَّتة تستطيع الدفع إلى الأعلى ومقاومة الدوران أيضًا، لذا تعطي ردّ فعل رأسيًا R_A وعزم ردّ فعل M_A. ΣF_y = 0 يعطي R_A، والعزوم حول الجدار تعطي M_A = Σ(الحمل × البعد عن الجدار). الحمل الموزّع يؤثّر كمحصّلته في مركز مخطط الحمل.

محصّلة الحمل المثلثي

W = ½·15·5 = 37,5 kN

x̄ = 2L/3 = 3,333 m

العزم حول الجدار

M_A = W·x̄ + P·a = 37,5·3,333 + 45·5 = 350 kN·m

الإجابة

M_A = 350 kN·m

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو DH

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة D

يقع CD وDE على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 42,5 kN (T), BC: 42,5 kN (T), CD: 42,5 kN (T), DE: 42,5 kN (T), FG: 70 kN (C), GH: 70 kN (C), AF: 60,1 kN (C), HE: 60,1 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 15 kN (C), DH: 0, FC: 38,89 kN (T), HC: 38,89 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: DH

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_BC = 2,244 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 15·1 − 10·2 → C_y = −0,8333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − −0,8333 = 15,83 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−0,8333/0,3714 = 2,244 kN

الإجابة

F_BC = 2,244 kN (شدّ)

7.الإطارات والآلات

الإجابة: F_BC = 0,7292 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣF_x = 0 وΣF_y = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

العنصر ثنائي القوة BC

BC = √(2,55² + 2²) = 3,241 m

الإطار كاملًا: العزوم حول A

تدفع الأرض العنصر BC عند C على امتداد CB؛ مركّبتها الأفقية تمر بـ A، والرأسية وحدها لها عزم.

F_BC·(2/3,241)·3 = 5·0,27

F_BC = 0,7292 kN (ضغط)

الإجابة

F_BC = 0,7292 kN

8.الإطارات والآلات

الإجابة: C = 4,333 kN

رد فعل المسند عند B

B_y = 15·0,625/5 = 1,875 kN

قوة الرباط

T = 1,875·2,5/1,2 = 3,906 kN

قوة المسمار على BC

C_x = 3,906 kN, C_y = −1,875 kN

C = √(3,906² + 1,875²) = 4,333 kN

الإجابة

C = 4,333 kN

9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 48 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. الازدواج المؤثّر يجعل مخطط عزم الانحناء يقفز بمقدار الازدواج.

ردود أفعال الركائز

العزوم حول A، عكس عقارب الساعة موجب: R_B·L − M₀ = 0. الاتزان الرأسي: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 60/10 = 6 kN (إلى الأعلى)

R_A = −R_B = −6 kN (إلى الأسفل)

اقطع يمين الازدواج مباشرةً

يحتوي الجزء الأيسر الآن على R_A والازدواج.

M_x = R_A·a + M₀ = −6·2 + 60 = 48 kN·m

الإجابة

M_x = 48 kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 45 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·4·2

R_B = 80/8 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 10 = 30 kN

انعدام القص

تبدأ قوة القص عند R_A، وتبقى ثابتة على أي جزء غير محمَّل، وتتناقص بميل w داخل الحمل.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 30/10 = 3 m

أقصى عزم

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 30·3 − 10·3²/2 = 45 kN·m

الإجابة

M_max = 45 kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 335,3 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (45000·150 − 1963·120)/(45000 − 1963) = 151,4 mm

اللوح الكامل حول ȳ

150·300³/12 + 45000·−1,369² = 337,6 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−31,37² = 2,239 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 335,3 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 335,3 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأسفل = 67,06 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 160·25 = 4000 mm², y_f = 280 + 25/2 = 292,5 mm

الجذع: A_w = 20·280 = 5600 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·292,5 + 5600·140)/9600 = 203,5 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 160·25³/12 + 4000·(292,5 − 203,5)² = 3,186 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 20·280³/12 + 5600·(140 − 203,5)² = 5,92 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,186 × 10⁷ + 5,92 × 10⁷ = 9,106 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة السفلية ȳ عن المحور.

y = 203,5 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·203,5/9,106 × 10⁷ = 67,06 MPa

الإجابة

σ_الأسفل = 67,06 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics