طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.
الإطارات والآلات
اتزان كل عنصر
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة
القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار
متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار
F = √(Fx² + Fy²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية
Fin·a = Fout·b
آلية المفصل الركبي
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
الطريقة
ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣFx = 0 وΣFy = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.
قوة القص وعزم الانحناء
القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8
الطريقة
أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.
المركز وعزم القصور الذاتي
المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2مسائل تدريبية
1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة
تؤثّر قوة ثابتة F = (15, 0, 15) N على جسم بينما يتحرّك في خط مستقيم من النقطة A(5, 5, 1) إلى النقطة B(−5, 0, 0). الإحداثيات بالمتر. أوجد الشغل W الذي تبذله القوة.
F = (15, 0, 15) NA(5, 5, 1) mB(−5, 0, 0) m
W = J
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة
أوجد حجم V متوازي السطوح الذي أضلاعه من رأس واحد a = (0, −5, −1) و b = (4, 2, 3) و c = (−1, −5, 1).
a = (0, −5, −1)b = (4, 2, 3)c = (−1, −5, 1)
V =
3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RA.
L = 5 mP1 = 30 kN عند 1,5 mP2 = 15 kN عند 2,5 m
RA = kN
4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. يؤثّر حمل P على بعد 1 m من A، مائلًا بزاوية 45° عن الأفق، ويؤثّر حمل رأسي Q على بعد 7 m من A. أوجد مقدار قوة ردّ الفعل الكلية RA عند المسمار A.
L = 10 mP = 15 kN عند 1 m, θ = 45°Q = 15 kN عند 7 m
RA = kN
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.
B: 35 kN ↓D: 25 kN ↓G: 25 kN ↓H: 25 kN ↓
1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو BG
13العضو DG
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.
B: 15 kN ↓H: 35 kN ←
1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو BG
13العضو DG
7.الإطارات والآلاتمتوسطة
يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 6 m، ومسمار قمته C على ارتفاع 2,5 m والرباط الأفقي DE على ارتفاع 1,2 m فوق الأرض. يؤثر حمل رأسي 10 kN على الساق AC عند K التي تبعد 0,75 m (أفقيًا) عن A. أوجد قوة الشد T في الرباط.
P = 10 kNAB = 6 mارتفاع C = 2,5 mارتفاع DE = 1,2 mالمسافة الأفقية من A إلى K = 0,75 m
T = kN
8.الإطارات والآلاتصعبة
العارضة AB في الكابول الجداري الموضح مثبتة بمسمار عند A ومسنودة بالدعامة CD (النقطة C تحت A بمسافة 0,8 m). تحمل العارضة حملًا منتظمًا 3 kN/m على طولها كله وحملًا مركّزًا 12 kN عند طرفها الحر B. أوجد القوة FCD في الدعامة.
w = 3 kN/mP = 12 kNAD = 1,6 mAB = 2,5 mAC = 0,8 m
FCD = kN
9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل ازدواجًا باتجاه عقارب الساعة M0 = 55 kN·m عند x = 3 m من A، ولا يوجد حمل آخر. أوجد عزم الانحناء Mx يمين الازدواج مباشرةً. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.
L = 5 mM0 = 55 kN·m باتجاه عقارب الساعة، عند 3 m
Mx = kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1 m حتى الطرف الحر C. يؤثّر حمل موزّع بانتظام w على الطول كله A–C. أوجد أقصى عزم انحناء موجب Mmax بين الركيزتين.
L = 5 mw = 8 kN/m من 0 إلى 5 mركيزتان عند x = 0 و x = 4 m
Mmax = kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
أنبوب دائري قطره الخارجي D = 130 mm وقطره الداخلي d = 118 mm. أوجد نصف قطر الدوران r حول المحور المركزي الأفقي.
D = 130 mmd = 118 mm
r = mm
12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
لوح أبعاده 120 mm × 150 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 50 mm وارتفاعها 50 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 60 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة Ix حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.
b = 120 mmh = 150 mmالفتحة: 50 × 50 mmمركز الثقب: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3المحاليل
1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي
الإجابة: W = −165 J
الضرب القياسي:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ، وهو كمية قياسية. يعطي الزاوية بين متّجهين، cos θ = a·b/(|a|·|b|)، ويساوي صفرًا عندما يكونان متعامدين. المسقط القياسي لـ a على b هو a·b/|b|، والقوة الثابتة F التي تتحرّك خلال إزاحة d تبذل شغلًا W = F·d.
الإزاحة
d = B − A = (−5, 0, 0) − (5, 5, 1) = (−10, −5, −1) m
الشغل
W = F·d = 15·(−10) + 0·(−5) + 15·(−1) = −165 J
الإجابة
W = −165 J
شغل سالب: القوة تؤثّر في الغالب عكس الحركة.
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي
الإجابة: V = 53
الضرب الاتجاهي:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) عمودي على المتّجهين كليهما، و |a × b| = |a|·|b|·sin θ هي مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدّدانه (والمثلث نصفها). الترتيب مهم: b × a = −(a × b). عزم القوة F المؤثّرة عند النقطة A حول النقطة O هو MO = r × F، مع r = A − O.
الضرب الاتجاهي b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 2·1 − 3·(−5) = 17
(b × c)y = bzcx − bxcz = 3·(−1) − 4·1 = −7
(b × c)z = bxcy − bycx = 4·(−5) − 2·(−1) = −18
الضرب القياسي مع a
a·(b × c) = 0·17 + (−5)·(−7) + (−1)·(−18) = 53
V = |53| = 53
الإجابة
V = 53
3.ردود أفعال ركائز الكمرات
الإجابة: RA = 28,5 kN
الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.
مخطط الجسم الحر
استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.
الاتزان
العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.
ΣMA = 0: RB·5 = 30·1,5 + 15·2,5
RB = 82,5/5 = 16,5 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 16,5 = 28,5 kN
الإجابة
RA = 28,5 kN
4.ردود أفعال ركائز الكمرات
الإجابة: RA = 17,6 kN
الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.
مركّبتا P
Pv = 15·sin 45° = 10,61 kN
Ph = 15·cos 45° = 10,61 kN
ردود الأفعال
ΣMA = 0: RB·10 = 10,61·1 + 15·7 → RB = 11,56 kN
Ay = 10,61 + 15 − 11,56 = 14,05 kN
Ax = Ph = 10,61 kN
المحصّلة عند A
RA = √(10,61² + 14,05²) = 17,6 kN
الإجابة
RA = 17,6 kN
5.الجملون: طريقة العقد
الإجابة: العضو CG
أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.
العقدة C
يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
تحقق بطريقة العقد
حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).
أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.
العقدة C
يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
تحقق بطريقة العقد
حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).
الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.
الإطار كاملًا: العزوم حول A
By = 10·0,75/6 = 1,25 kN
الساق BC: العزوم حول C
1,25·3 = T·1,3
T = 2,885 kN
الإجابة
T = 2,885 kN
8.الإطارات والآلات
الإجابة: FCD = 55,03 kN
الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.
محصلة الحمل المنتظم
w·L = 3·2,5 = 7,5 kN عند 1,25 m
العزوم حول A للعارضة
FCD·0,4472·1,6 = 7,5·1,25 + 12·2,5 = 39,38 kN·m
FCD = 55,03 kN
الإجابة
FCD = 55,03 kN
9.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: Mx = 22 kN·m
طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. الازدواج المؤثّر يجعل مخطط عزم الانحناء يقفز بمقدار الازدواج.
ردود أفعال الركائز
العزوم حول A، عكس عقارب الساعة موجب: RB·L − M0 = 0. الاتزان الرأسي: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 55/5 = 11 kN (إلى الأعلى)
RA = −RB = −11 kN (إلى الأسفل)
اقطع يمين الازدواج مباشرةً
يحتوي الجزء الأيسر الآن على RA والازدواج.
Mx = RA·a + M0 = −11·3 + 55 = 22 kN·m
الإجابة
Mx = 22 kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: Mmax = 14,06 kN·m
طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.
ردود أفعال الركائز
اتزان الكمرة كلها، بما في ذلك الحمل على الجزء البارز.
محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,5 m
عزم القصور الذاتي: للمستطيل حول محوره المركزي I = bh³/12، وحول قاعدته bh³/3 (نظرية المحور الموازي I = Ic + A·d²). يُعالَج الثقب بطرح عزم قصوره I، بشرط أن يشترك الجزءان في المحور نفسه. معامل المقطع المرن S = I/c، حيث c هي المسافة إلى الليف الأبعد. نصف قطر الدوران r = √(I/A) هو المسافة التي لو تركّزت عندها المساحة كلها لأعطت I نفسه؛ ويُستخدم في انبعاج الأعمدة.
المساحة الصافية وعزم القصور الذاتي
A = π(D² − d²)/4 = 2337 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 4,503 × 10⁶ mm⁴
نصف قطر الدوران
r = √(I/A) = √(4,503 × 10⁶/2337) = 43,89 mm
الإجابة
r = 43,89 mm
12.المركز وعزم القصور الذاتي
الإجابة: Ix = 32,58 × 10⁶ mm⁴
المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل Ic = bh³/12 وللدائرة Ic = πd⁴/64.
المركز
ȳ = (18000·75 − 2500·60)/(18000 − 2500) = 77,42 mm