الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار
|a| = √(ax² + ay² + az²)
متّجه الوحدة
û = a/|a|
المركّبات من زاوية
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
الضرب القياسي
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b
a·b/|b|
الشغل
W = F·d
الضرب الاتجاهي
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
المساحات
متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O
MO = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح
V = |a·(b × c)|

الطريقة

  1. اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
  2. للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
  3. استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
  4. استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم
M = F·d

الطريقة

  1. ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
  2. استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
  3. خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
  4. استخدم ΣFy = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
طريقة المقاطع
ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو
موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
  2. طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
  3. طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
  4. افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة
القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار
متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار
F = √(Fx² + Fy²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية
Fin·a = Fout·b
آلية المفصل الركبي
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

  1. ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
  2. حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
  3. فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
  4. لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣFx = 0 وΣFy = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة
xyzab

أوجد الزاوية θ بين المتّجهين a = (−2, −6, −6) و b = (−4, −1, −6)، بالدرجات.

a = (−2, −6, −6)b = (−4, −1, −6)
θ = °
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة
xyzab

للمتّجهين a = (−5, −1, 0) و b = (−1, −4, 1)، أوجد المركّبة z (a × b)z للضرب الاتجاهي a × b.

a = (−5, −1, 0)b = (−1, −4, 1)
(a × b)z =
3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
w = 5 kN/mP = 60 kNABRA​ = ?3 m1 m

الكمرة الكابولية مثبَّتة في الجدار عند A. تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طولها كله وحملًا مركّزًا P على بعد 3 m من الجدار. أوجد ردّ الفعل الرأسي RA عند الجدار.

L = 4 mP = 60 kN عند 3 mw = 5 kN/m من 0 إلى 4 m
RA = kN
4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
w = 12 kN/mP = 30 kNABCRA​ = ?5 m3 m2 m

للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 8 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 5 m من A وحملًا موزّعًا بانتظام w من 8 m حتى الطرف الحر عند 10 m. أوجد ردّ الفعل الرأسي RA، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

AB = 8 mAC = 10 mP = 30 kN عند 5 mw = 12 kN/m من 8 إلى 10 m
RA = kN
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
ABCDEFGH35 kN25 kN30 kN4 × 4 m4 m

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 35 kN ↓D: 25 kN ↓H: 30 kN ↓
  1. 1العضو AB
  2. 2العضو BC
  3. 3العضو CD
  4. 4العضو DE
  5. 5العضو FG
  6. 6العضو GH
  7. 7العضو AF
  8. 8العضو HE
  9. 9العضو BF
  10. 10العضو CG
  11. 11العضو DH
  12. 12العضو BG
  13. 13العضو DG
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
ABBCACACB35 kN15 kN8 m1 m3 m

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FBC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 8 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 1 m عن Aالحمل الرأسي = 35 kNالحمل الأفقي = 15 kN →
FBC = kN
7.الإطارات والآلاتمتوسطة
400 NQ = ?8°ABC

في مشبك المفصل الركبي الموضح، يرتبط الذراعان المتساويان AB وBC بمسمار عند B، ويصنع كل منهما زاوية 8° مع الخط AC. تؤثر قوة هابطة 400 N عند B. يضغط المنزلق C قطعة عمل. بإهمال الاحتكاك والأوزان، أوجد قوة الإطباق الأفقية Q.

F = 400 Nθ = 8°
Q = N
8.الإطارات والآلاتصعبة
F = ?4000 N8 mmABC

في مكبس ذي مفصل ركبي ذراعان متساويان AB وBC طول كل منهما 100 mm بين المسمارين. يقع المفصل B على ارتفاع 8 mm فوق الخط AC. ما القوة الهابطة F عند B التي تنتج قوة ضغط أفقية 4000 N عند المنزلق C؟ أهمل الاحتكاك والأوزان.

Q = 4000 NAB = BC = 100 mmh = 8 mm
F = N
9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
P1​ = 35 kNP2​ = 65 kNAB1 m2,5 m2,5 m

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملين مركّزين. أوجد أقصى عزم انحناء Mmax في الكمرة.

L = 6 mP1 = 35 kN عند 1 mP2 = 65 kN عند 3,5 m
Mmax = kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
6 kN/m45 kN60 kN30 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

45 kN @ 0 m60 kN @ 12 m30 kN @ 8 m6 kN/m, 2–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
150 mm150 mm90 mmØ30xIx​ = ?

لوح أبعاده 150 mm × 150 mm فيه ثقب دائري قطره 30 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 90 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة Ix حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 150 mmh = 150 mmd = 30 mmمركز الثقب: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
190480126xM = 80 kN·mالأبعاد بالـ mm

مقطع I متماثل له شفتان عرض كلٍّ منهما 190 mm وسُمكها 12 mm، وعمق كلي 480 mm، وجذع سُمكه 6 mm. يحمل عزم انحناء مقداره 80 kN·m حول المحور x. أوجد مقدار أقصى إجهاد انحناء σmax في المقطع.

B = 190 mmH = 480 mmtf = 12 mmtw = 6 mmM = 80 kN·m
σmax = MPa

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: θ = 38,02 °

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

الضرب القياسي

a·b = (−2)·(−4) + (−6)·(−1) + (−6)·(−6) = 50

المقداران

|a| = √((−2)² + (−6)² + (−6)²) = 8,718
|b| = √((−4)² + (−1)² + (−6)²) = 7,28

الزاوية

cos θ = 50/(8,718·7,28) = 0,7878
θ = arccos(0,7878) = 38,02°

الإجابة

θ = 38,02°
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: (a × b)z = 19

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

الضرب الاتجاهي، مركّبةً مركّبة

(a × b)x = aybz − azby = (−1)·1 − 0·(−4) = −1
(a × b)y = azbx − axbz = 0·(−1) − (−5)·1 = 5
(a × b)z = axby − aybx = (−5)·(−4) − (−1)·(−1) = 19

المركّبة المطلوبة

(a × b)z = 19

الإجابة

(a × b)z = 19

تحقّق: a × b عمودي على المتّجهين كليهما، لذا ضربه القياسي مع a ومع b صفر.

3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RA = 80 kN

اتزان الكابولي: الركيزة المثبَّتة تستطيع الدفع إلى الأعلى ومقاومة الدوران أيضًا، لذا تعطي ردّ فعل رأسيًا RA وعزم ردّ فعل MA. ΣFy = 0 يعطي RA، والعزوم حول الجدار تعطي MA = Σ(الحمل × البعد عن الجدار). الحمل الموزّع يؤثّر كمحصّلته في مركز مخطط الحمل.

محصّلة الحمل الموزّع

W = 5·4 = 20 kN, x̄ = 2 m

الاتزان الرأسي

RA = P + W = 60 + 20 = 80 kN

الإجابة

RA = 80 kN
4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RA = 8,25 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

محصّلة الحمل الموزّع

W = 12·2 = 24 kN, x̄ = (8 + 10)/2 = 9 m

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣMA = 0: RB·8 = 30·5 + 24·9
RB = 366/8 = 45,75 kN
RA = 54 − 45,75 = 8,25 kN

الإجابة

RA = 8,25 kN
5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 40 kN (T), BC: 45 kN (T), CD: 45 kN (T), DE: 50 kN (T), FG: 40 kN (C), GH: 50 kN (C), AF: 56,57 kN (C), HE: 70,71 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), BG: 7,071 kN (C), DG: 7,071 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG
6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: FBC = −25,39 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ABBCACACB35 kN15 kNAy​Cy​Ax​

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣMA = 0: Cy·8 = 35·1 + 15·3 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 10 = 25 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 3/7,616 = 0,3939, cos γ = 7/7,616 = 0,9191
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −10/0,3939 = −25,39 kN

الإجابة

FBC = −25,39 kN (ضغط)
7.الإطارات والآلات

الإجابة: Q = 1423 N

الآلات: تحوّل الزرادية والرافعات والوصلات والمشابك قوة دخل إلى قوة خرج أكبر أو بتوجيه مختلف. ارسم جزءًا واحدًا كجسم حر وخذ العزوم حول محوره: تسقط قوة المسمار، وتعطي Fin·a = Fout·b الفائدة الميكانيكية a/b. ثم تنتج قوة المسمار من ΣF = 0 على الجزء نفسه. وفي آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ؛ وكل ذراع عنصر ثنائي القوة، فتولّد قوة صغيرة F عند المفصل قوى كبيرة في الذراعين F/(2 sin θ) وقوة إطباق F/(2 tan θ).

اتزان المسمار B

2·Flink·sin 8° = 400
Flink = 1437 N

قوة الإطباق

Q = Flink·cos 8° = 400/(2·tan 8°) = 1423 N

الإجابة

Q = 1423 N

نسبة القوى Q/F = 3,558 تكبر بلا حدود كلما استقام الذراعان.

8.الإطارات والآلات

الإجابة: F = 642,1 N

الآلات: تحوّل الزرادية والرافعات والوصلات والمشابك قوة دخل إلى قوة خرج أكبر أو بتوجيه مختلف. ارسم جزءًا واحدًا كجسم حر وخذ العزوم حول محوره: تسقط قوة المسمار، وتعطي Fin·a = Fout·b الفائدة الميكانيكية a/b. ثم تنتج قوة المسمار من ΣF = 0 على الجزء نفسه. وفي آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ؛ وكل ذراع عنصر ثنائي القوة، فتولّد قوة صغيرة F عند المفصل قوى كبيرة في الذراعين F/(2 sin θ) وقوة إطباق F/(2 tan θ).

زاوية الذراع

sin θ = 8/100 = 0,08, θ = 4,589°

قوة الذراع

Flink = Q/cos θ = 4013 N

القوة عند B

F = 2·Flink·sin θ = 2·4000·tan θ = 642,1 N

الإجابة

F = 642,1 N
9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mmax = 109,4 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

ΣMA = 0: RB·6 = 35·1 + 65·3,5
RB = 262,5/6 = 43,75 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 43,75 = 56,25 kN

العزم تحت كل حمل

احتفظ بالجزء الواقع يسار كل حمل.

تحت P1: M = RA·1 = 56,25·1 = 56,25 kN·m
تحت P2: M = RB·2,5 = 43,75·2,5 = 109,4 kN·m

أكبر قيمة

Mmax = 109,4 kN·m (تحت P2)

الإجابة

Mmax = 109,4 kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: F (x = 10 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R1 = 72,75 kN, R2 = 110,3 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

MA = 0, MB = −90, MC = −46,5, MD = −27, ME = −31,5, MF = −120 kN·m, MG = 0

الإجابة

علامة F: MF = −120 kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: Ix = 41,98 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل Ic = bh³/12 وللدائرة Ic = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (22500·75 − 706,9·90)/(22500 − 706,9) = 74,51 mm

اللوح الكامل حول ȳ

150·150³/12 + 22500·0,4865² = 42,19 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·15,49² = 0,2093 × 10⁶ mm⁴

اطرح

Ix = 41,98 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

Ix = 41,98 × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σmax = 64,61 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

المستطيل الخارجي ناقص الفراغين الجانبيين

عرض الفراغين معًا (B − tw) وارتفاعهما hw = H − 2tf، ويشتركان في المحور x.

hw = 480 − 2·12 = 456 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (190·480³ − 184·456³)/12
Ix = 2,972 × 10⁸ mm⁴

إجهاد الانحناء

y = 240 mm
σ = M·y/I = 8 × 10⁷·240/2,972 × 10⁸ = 64,61 MPa

الإجابة

σmax = 64,61 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics