طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.
الإطارات والآلات
اتزان كل عنصر
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة
القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار
متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار
F = √(Fx² + Fy²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية
Fin·a = Fout·b
آلية المفصل الركبي
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
الطريقة
ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣFx = 0 وΣFy = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.
قوة القص وعزم الانحناء
القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8
الطريقة
أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.
المركز وعزم القصور الذاتي
المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2مسائل تدريبية
1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة
أوجد الضرب القياسي a·b للمتّجهين a = (6, 6, −7) و b = (−4, 2, −5).
a = (6, 6, −7)b = (−4, 2, −5)
a·b =
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة
متّجه الوحدة n̂ عمودي على a = (−3, 1, 5) و b = (1, −3, 0) كليهما وله مركّبة z موجبة. أوجد مركّبته x n̂x.
a = (−3, 1, 5)b = (1, −3, 0)n̂z > 0
n̂x =
3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 3 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. أوجد ردّ الفعل الرأسي RA، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.
AB = 3 mAC = 4 mP1 = 10 kN عند 2 mP2 = 60 kN عند 4 m
RA = kN
4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
كمرة مركّبة مثبَّتة في الجدار عند A، لها مفصل داخلي عند C (على بعد 3 m من A) وترتكز على بكرة عند D (على بعد 8 m من A). تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 4 m من A. أوجد ردّ الفعل RD عند البكرة.
AC = 3 mAD = 8 mP = 30 kN عند 4 m
RD = kN
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FAC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.
البحر = 8 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 3 m عن Aالحمل الرأسي = 10 kN
FAC = kN
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.
للإطار الموضح مسامير عند A وB وC؛ النقطتان A وC مثبتتان بالأرض والمسافة بينهما 3 m، والنقطة B على ارتفاع 2,5 m فوق الأرض وعلى بُعد 1,35 m إلى يمين A. يؤثر حمل رأسي 20 kN على العنصر AB عند K التي تبعد 0,3375 m (أفقيًا) عن A. أوجد القوة FBC في العنصر BC.
P = 20 kNL = 3 mH = 2,5 mالمسافة الأفقية من A إلى B = 1,35 mالمسافة الأفقية من A إلى K = 0,3375 m
FBC = kN
8.الإطارات والآلاتصعبة
في مكبس ذي مفصل ركبي ذراعان متساويان AB وBC طول كل منهما 150 mm بين المسمارين. يقع المفصل B على ارتفاع 20 mm فوق الخط AC. ما القوة الهابطة F عند B التي تنتج قوة ضغط أفقية 2000 N عند المنزلق C؟ أهمل الاحتكاك والأوزان.
Q = 2000 NAB = BC = 150 mmh = 20 mm
F = N
9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.
15 kN @ 5 m40 kN @ 2 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
أوجد عزم الانحناء Mx عند المقطع x = 1 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.
L = 4 mP = 50 kN عند 1 mw = 12 kN/m من 0 إلى 4 mx = 1 m
Mx = kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
لوح أبعاده 100 mm × 240 mm فيه ثقب دائري قطره 50 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 96 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة Ix حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.
b = 100 mmh = 240 mmd = 50 mmمركز الثقب: y = 96 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 40 kN·m. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σالأعلى عند الحافة العلوية.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
الضرب الاتجاهي
(a × b)x = aybz − azby = 1·0 − 5·(−3) = 15
(a × b)y = azbx − axbz = 5·1 − (−3)·0 = 5
(a × b)z = axby − aybx = (−3)·(−3) − 1·1 = 8
التسوية إلى الوحدة
المركّبة z لـ a × b موجبة أصلًا.
|a × b| = √(15² + 5² + 8²) = 17,72
n̂ = (15, 5, 8)/17,72 = (0,8465, 0,2822, 0,4515)
n̂x = 0,8465
الإجابة
n̂x = 0,8465
3.ردود أفعال ركائز الكمرات
الإجابة: RA = −16,67 kN
الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.
العزوم حول A
عكس عقارب الساعة موجب.
ΣMA = 0: RB·3 = 10·2 + 60·4
RB = 260/3 = 86,67 kN
الاتزان الرأسي
RA = 10 + 60 − 86,67 = −16,67 kN
الإجابة
RA = −16,67 kN
RA سالب: على المسمار عند A أن يمسك الكمرة إلى الأسفل.
4.ردود أفعال ركائز الكمرات
الإجابة: RD = 6 kN
الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة. المفصل الداخلي لا يستطيع نقل عزم انحناء، وهذا يعطي معادلة إضافية: عزم القوى على أيٍّ من الجانبين حول المفصل يساوي صفرًا.
الجزء CD
المفصل ليس له عزم، لذا يجب أن تتوازن العزوم حول C على CD وحده.
ΣMC = 0: RD·5 = 30·1
RD = 6 kN
VC = 30 − 6 = 24 kN
الإجابة
RD = 6 kN
5.الجملون: طريقة العقد
الإجابة: FAC = 6,25 kN
طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.
ردود أفعال الركائز
اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.
ΣMA = 0: Cy·8 = 10·3 → Cy = 3,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 3,75 = 6,25 kN
العقدة C
البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.
sin γ = 3/5,831 = 0,5145, cos γ = 5/5,831 = 0,8575
أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.
العقدة C
يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
تحقق بطريقة العقد
حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).
الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.
العنصر ثنائي القوة BC
BC = √(1,65² + 2,5²) = 2,995 m
الإطار كاملًا: العزوم حول A
تدفع الأرض العنصر BC عند C على امتداد CB؛ مركّبتها الأفقية تمر بـ A، والرأسية وحدها لها عزم.
FBC·(2,5/2,995)·3 = 20·0,3375
FBC = 2,696 kN (ضغط)
الإجابة
FBC = 2,696 kN
8.الإطارات والآلات
الإجابة: F = 538,1 N
الآلات: تحوّل الزرادية والرافعات والوصلات والمشابك قوة دخل إلى قوة خرج أكبر أو بتوجيه مختلف. ارسم جزءًا واحدًا كجسم حر وخذ العزوم حول محوره: تسقط قوة المسمار، وتعطي Fin·a = Fout·b الفائدة الميكانيكية a/b. ثم تنتج قوة المسمار من ΣF = 0 على الجزء نفسه. وفي آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ؛ وكل ذراع عنصر ثنائي القوة، فتولّد قوة صغيرة F عند المفصل قوى كبيرة في الذراعين F/(2 sin θ) وقوة إطباق F/(2 tan θ).
زاوية الذراع
sin θ = 20/150 = 0,1333, θ = 7,662°
قوة الذراع
Flink = Q/cos θ = 2018 N
القوة عند B
F = 2·Flink·sin θ = 2·2000·tan θ = 538,1 N
الإجابة
F = 538,1 N
9.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: C (x = 2 m)
أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.
ردود أفعال الركائز
خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.
R1 = 29,17 kN, R2 = 25,83 kN
عزم الانحناء عند كل علامة
اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.
MA = 0, MB = 29,17, MC = 58,33 kN·m, MD = 47,5, ME = 36,67, MF = 25,83, MG = 0
الإجابة
علامة C: MC = 58,33 kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: Mx = 55,5 kN·m
طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.
ردود أفعال الركائز
اتزان الكمرة كلها.
محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 50·1 + 12·4·2
RB = 146/4 = 36,5 kN
ΣFy = 0: RA = 98 − 36,5 = 61,5 kN
اقطع عند x = 1 m واحتفظ بالجزء الأيسر
تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.
M = RA·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)
Mx = 61,5·1 − 12·1·0,5 = 55,5 kN·m
الإجابة
Mx = 55,5 kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتي
الإجابة: Ix = 113,7 × 10⁶ mm⁴
المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل Ic = bh³/12 وللدائرة Ic = πd⁴/64.
المركز
ȳ = (24000·120 − 1963·96)/(24000 − 1963) = 122,1 mm
اللوح الكامل حول ȳ
100·240³/12 + 24000·−2,138² = 115,3 × 10⁶ mm⁴
الثقب حول ȳ
π·50⁴/64 + 1963·−26,14² = 1,648 × 10⁶ mm⁴
اطرح
Ix = 113,7 × 10⁶ mm⁴
الإجابة
Ix = 113,7 × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتي
الإجابة: σالأعلى = 40,01 MPa
المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.
قسّم إلى مستطيلين
قِس كل y من الحافة السفلية.
الشفة: Af = 220·25 = 5500 mm², yf = 260 + 25/2 = 272,5 mm
الجذع: Aw = 18·260 = 4680 mm², yw = 260/2 = 130 mm