الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار
|a| = √(ax² + ay² + az²)
متّجه الوحدة
û = a/|a|
المركّبات من زاوية
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
الضرب القياسي
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b
a·b/|b|
الشغل
W = F·d
الضرب الاتجاهي
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
المساحات
متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O
MO = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح
V = |a·(b × c)|

الطريقة

  1. اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
  2. للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
  3. استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
  4. استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم
M = F·d

الطريقة

  1. ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
  2. استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
  3. خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
  4. استخدم ΣFy = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
طريقة المقاطع
ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو
موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
  2. طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
  3. طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
  4. افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة
القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار
متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار
F = √(Fx² + Fy²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية
Fin·a = Fout·b
آلية المفصل الركبي
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

  1. ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
  2. حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
  3. فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
  4. لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣFx = 0 وΣFy = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة
xyzdFAB

تؤثّر قوة ثابتة F = (25, 0, −15) N على جسم بينما يتحرّك في خط مستقيم من النقطة A(−1, −5, 2) إلى النقطة B(3, 1, 0). الإحداثيات بالمتر. أوجد الشغل W الذي تبذله القوة.

F = (25, 0, −15) NA(−1, −5, 2) mB(3, 1, 0) m
W = J
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة
xyzABC

أوجد مساحة A المثلث الذي رؤوسه A(1, −4, 0) و B(0, 4, 0) و C(1, 2, 2). الإحداثيات بالمتر.

A(1, −4, 0)B(0, 4, 0)C(1, 2, 2)
A = m²
3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
P1​ = 35 kNP2​ = 20 kNABRA​ = ?RB​2,5 m0,5 m1 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RA.

L = 4 mP1 = 35 kN عند 2,5 mP2 = 20 kN عند 3 m
RA = kN
4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
P = 75 kN, 40°Q = 40 kNABα = ?2 m3 m5 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. يؤثّر حمل P على بعد 2 m من A، مائلًا بزاوية 40° عن الأفق، ويؤثّر حمل رأسي Q على بعد 5 m من A. أوجد الزاوية α بين قوة ردّ الفعل الكلية عند المسمار A والأفق.

L = 10 mP = 75 kN عند 2 m, θ = 40°Q = 40 kN عند 5 m
α = °
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
ABBCACACB10 kN6 m5 m2 m

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FAC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 6 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 5 m عن Aالحمل الرأسي = 10 kN
FAC = kN
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
ABBCACACB30 kN15 kN6 m5 m4 m

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FBC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 6 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 5 m عن Aالحمل الرأسي = 30 kNالحمل الأفقي = 15 kN ←
FBC = kN
7.الإطارات والآلاتمتوسطة
OAB120 NQ100 mm150 mmFO​ = ?

تدور الذراع الزاوية الموضحة حول المسمار O. تتوازن قوة رأسية 120 N عند A (على بُعد 100 mm من O) مع قوة أفقية عند B (على ارتفاع 150 mm فوق O). أوجد مقدار رد فعل المسمار FO.

F = 120 NOA = 100 mmOB = 150 mm
FO = N
8.الإطارات والآلاتصعبة
F = ?1500 N5 mmABC

في مكبس ذي مفصل ركبي ذراعان متساويان AB وBC طول كل منهما 80 mm بين المسمارين. يقع المفصل B على ارتفاع 5 mm فوق الخط AC. ما القوة الهابطة F عند B التي تنتج قوة ضغط أفقية 1500 N عند المنزلق C؟ أهمل الاحتكاك والأوزان.

Q = 1500 NAB = BC = 80 mmh = 5 mm
F = N
9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
10 kN/m55 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

55 kN @ 6 m10 kN/m, 4–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
w = 10 kN/mABC8 m2 m

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 2 m حتى الطرف الحر C. يؤثّر حمل موزّع بانتظام w على الطول كله A–C. أوجد أقصى عزم انحناء موجب Mmax بين الركيزتين.

L = 10 mw = 10 kN/m من 0 إلى 10 mركيزتان عند x = 0 و x = 8 m
Mmax = kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
280150t = 10xالأبعاد بالـ mm

مقطع مجرى موضوع وجانبه المفتوح إلى الأعلى: لوح قاعدة عرضه 280 mm مع ساقين قائمتين، ارتفاعه الكلي 150 mm. سُمك القاعدة والساقين كلها 10 mm. أوجد عزم قصوره الذاتي Ix حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b = 280 mmh = 150 mmt = 10 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
2202030016xM = 40 kN·mالأبعاد بالـ mm

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 40 kN·m. أوجد إجهاد الانحناء σالأسفل عند الحافة السفلية.

bf = 220 mmtf = 20 mmtw = 16 mmhw = 300 mmM = 40 kN·m
σالأسفل = MPa

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: W = 130 J

الضرب القياسي: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ، وهو كمية قياسية. يعطي الزاوية بين متّجهين، cos θ = a·b/(|a|·|b|)، ويساوي صفرًا عندما يكونان متعامدين. المسقط القياسي لـ a على b هو a·b/|b|، والقوة الثابتة F التي تتحرّك خلال إزاحة d تبذل شغلًا W = F·d.

الإزاحة

d = B − A = (3, 1, 0) − (−1, −5, 2) = (4, 6, −2) m

الشغل

W = F·d = 25·4 + 0·6 + (−15)·(−2) = 130 J

الإجابة

W = 130 J
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: A = 8,602 m²

الضرب الاتجاهي: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) عمودي على المتّجهين كليهما، و |a × b| = |a|·|b|·sin θ هي مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدّدانه (والمثلث نصفها). الترتيب مهم: b × a = −(a × b). عزم القوة F المؤثّرة عند النقطة A حول النقطة O هو MO = r × F، مع r = A − O.

متّجها الضلعين

AB = B − A = (−1, 8, 0)
AC = C − A = (0, 6, 2)

الضرب الاتجاهي

(AB × AC)x = AByACz − ABzACy = 8·2 − 0·6 = 16
(AB × AC)y = ABzACx − ABxACz = 0·0 − (−1)·2 = 2
(AB × AC)z = ABxACy − AByACx = (−1)·6 − 8·0 = −6
|AB × AC| = √(16² + 2² + (−6)²) = 17,2

مساحة المثلث

A = ½·17,2 = 8,602 m²

الإجابة

A = 8,602 m²
3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RA = 18,13 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

P1​ = 35 kNP2​ = 20 kNABRA​RB​2,5 m0,5 m1 m

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣMA = 0: RB·4 = 35·2,5 + 20·3
RB = 147,5/4 = 36,88 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 36,88 = 18,13 kN

الإجابة

RA = 18,13 kN
4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: α = 45,55 °

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مركّبتا P

Pv = 75·sin 40° = 48,21 kN
Ph = 75·cos 40° = 57,45 kN

ردود الأفعال

ΣMA = 0: RB·10 = 48,21·2 + 40·5 → RB = 29,64 kN
Ay = 48,21 + 40 − 29,64 = 58,57 kN
Ax = Ph = 57,45 kN

الاتجاه عند A

α = atan(Ay/Ax) = atan(58,57/57,45) = 45,55°

الإجابة

α = 45,55°
5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: FAC = 4,167 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ABBCACACB10 kNAy​Cy​

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣMA = 0: Cy·6 = 10·5 → Cy = 8,333 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 8,333 = 1,667 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −8,333/0,8944 = −9,317 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−9,317)·0,4472 = 4,167 kN

الإجابة

FAC = 4,167 kN (شدّ)
6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: FBC = −15,46 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ABBCACACB30 kN15 kNAy​Cy​Ax​

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣMA = 0: Cy·6 = 30·5 − 15·4 → Cy = 15 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 15 = 15 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −15/0,9701 = −15,46 kN

الإجابة

FBC = −15,46 kN (ضغط)
7.الإطارات والآلات

الإجابة: FO = 144,2 N

الآلات: تحوّل الزرادية والرافعات والوصلات والمشابك قوة دخل إلى قوة خرج أكبر أو بتوجيه مختلف. ارسم جزءًا واحدًا كجسم حر وخذ العزوم حول محوره: تسقط قوة المسمار، وتعطي Fin·a = Fout·b الفائدة الميكانيكية a/b. ثم تنتج قوة المسمار من ΣF = 0 على الجزء نفسه. وفي آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ؛ وكل ذراع عنصر ثنائي القوة، فتولّد قوة صغيرة F عند المفصل قوى كبيرة في الذراعين F/(2 sin θ) وقوة إطباق F/(2 tan θ).

القوة عند B

Q = 120·100/150 = 80 N

رد فعل المسمار

Ox = 80 N, Oy = 120 N
FO = √(80² + 120²) = 144,2 N

الإجابة

FO = 144,2 N
8.الإطارات والآلات

الإجابة: F = 187,9 N

الآلات: تحوّل الزرادية والرافعات والوصلات والمشابك قوة دخل إلى قوة خرج أكبر أو بتوجيه مختلف. ارسم جزءًا واحدًا كجسم حر وخذ العزوم حول محوره: تسقط قوة المسمار، وتعطي Fin·a = Fout·b الفائدة الميكانيكية a/b. ثم تنتج قوة المسمار من ΣF = 0 على الجزء نفسه. وفي آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ؛ وكل ذراع عنصر ثنائي القوة، فتولّد قوة صغيرة F عند المفصل قوى كبيرة في الذراعين F/(2 sin θ) وقوة إطباق F/(2 tan θ).

زاوية الذراع

sin θ = 5/80 = 0,0625, θ = 3,583°

قوة الذراع

Flink = Q/cos θ = 1503 N

القوة عند B

F = 2·Flink·sin θ = 2·1500·tan θ = 187,9 N

الإجابة

F = 187,9 N
9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: D (x = 6 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R1 = 47,5 kN, R2 = 47,5 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

MA = 0, MB = 95, MC = 190, MD = 265 kN·m, ME = 190, MF = 95, MG = 0

الإجابة

علامة D: MD = 265 kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mmax = 70,31 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها، بما في ذلك الحمل على الجزء البارز.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN، تؤثّر عند x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 10·10·5
RB = 500/8 = 62,5 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 62,5 = 37,5 kN

انعدام القص

RA − w·x0 = 0 → x0 = 37,5/10 = 3,75 m

أقصى عزم موجب

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 37,5²/(2·10) = 70,31 kN·m

الإجابة

Mmax = 70,31 kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: Ix = 12,47 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلات

خذ القاعدة بكامل عرضها والساقين فوقها (بارتفاع h − t)، حتى لا يُحسب شيء مرتين.

القاعدة: A1 = 280·10 = 2800 mm², y1 = 5 mm
الساقان: A2 = 2·10·140 = 2800 mm², y2 = 10 + 140/2 = 80 mm

المركز

ȳ = (2800·5 + 2800·80)/5600 = 42,5 mm

نظرية المحور الموازي

القاعدة: 280·10³/12 + 2800·(5 − 42,5)² = 3,961 × 10⁶ mm⁴
الساقان: 2·10·140³/12 + 2800·(80 − 42,5)² = 8,511 × 10⁶ mm⁴
Ix = 3,961 × 10⁶ + 8,511 × 10⁶
Ix = 1,247 × 10⁷ mm⁴ = 12,47 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

Ix = 12,47 × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σالأسفل = 95,46 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: Af = 220·20 = 4400 mm², yf = 300 + 20/2 = 310 mm
الجذع: Aw = 16·300 = 4800 mm², yw = 300/2 = 150 mm

المركز

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4400·310 + 4800·150)/9200 = 226,5 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 220·20³/12 + 4400·(310 − 226,5)² = 3,081 × 10⁷ mm⁴
الجذع: 16·300³/12 + 4800·(150 − 226,5)² = 6,411 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3,081 × 10⁷ + 6,411 × 10⁷ = 9,492 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة السفلية ȳ عن المحور.

y = 226,5 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·226,5/9,492 × 10⁷ = 95,46 MPa

الإجابة

σالأسفل = 95,46 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics