الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
متّجه الوحدة: û = a/|a|
المركّبات من زاوية: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b: a·b/|b|
الشغل: W = F·d
الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
المساحات: متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O: M_O = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح: V = |a·(b × c)|

الطريقة

اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة: القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار: متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار: F = √(F_x² + F_y²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية: F_in·a = F_out·b
آلية المفصل الركبي: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣF_x = 0 وΣF_y = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة

أوجد الضرب القياسي a·b للمتّجهين a = (−6, 6, 5) و b = (−4, −4, 2).

a = (−6, 6, 5)b = (−4, −4, 2)

a·b =

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة

أوجد مساحة A المثلث الذي رؤوسه A(−4, −4, 4) و B(1, 2, 1) و C(0, −2, −3). الإحداثيات بالمتر.

A(−4, −4, 4)B(1, 2, 1)C(0, −2, −3)

A = m²

3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_B.

L = 4 mP₁ = 55 kN عند 1,5 mP₂ = 45 kN عند 2,5 m

R_B = kN

4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_A.

L = 4 mP = 30 kN عند 2,5 mw = 8 kN/m من 2 إلى 4 m

R_A = kN

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AB في العضو AB. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 6 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 1 m عن Aالحمل الرأسي = 45 kN

F_AB = kN

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AB في العضو AB. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 4 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 1 m عن Aالحمل الرأسي = 55 kNالحمل الأفقي = 20 kN ←

F_AB = kN

7.الإطارات والآلاتمتوسطة

في مشبك المفصل الركبي الموضح، يرتبط الذراعان المتساويان AB وBC بمسمار عند B، ويصنع كل منهما زاوية 30° مع الخط AC. تؤثر قوة هابطة 150 N عند B. يضغط المنزلق C قطعة عمل. بإهمال الاحتكاك والأوزان، أوجد قوة الإطباق الأفقية Q.

F = 150 Nθ = 30°

Q = N

8.الإطارات والآلاتصعبة

يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 6 m. تلتقي الساقان عند المسمار C على ارتفاع 2,5 m، ويربطهما القضيب الأفقي DE على ارتفاع 0,8 m. تؤثر قوة أفقية 2 kN نحو اليمين عند C. أوجد قوة الشد T في الرباط.

P = 2 kNAB = 6 mارتفاع C = 2,5 mارتفاع DE = 0,8 m

T = kN

9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل ازدواجًا باتجاه عقارب الساعة M₀ = 50 kN·m عند x = 8 m من A، ولا يوجد حمل آخر. أوجد عزم الانحناء M_x يسار الازدواج مباشرةً. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 10 mM₀ = 50 kN·m باتجاه عقارب الساعة، عند 8 m

M_x = kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله وحملًا مركّزًا P. أوجد أقصى عزم انحناء M_max في الكمرة.

L = 8 mP = 80 kN عند 7 mw = 2 kN/m من 0 إلى 8 m

M_max = kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

لوح أبعاده 100 mm × 240 mm فيه ثقب دائري قطره 50 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 72 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 100 mmh = 240 mmd = 50 mmمركز الثقب: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

لوح أبعاده 150 mm × 200 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 50 mm وارتفاعها 20 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 130 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 150 mmh = 200 mmالفتحة: 50 × 20 mmمركز الثقب: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: a·b = 10

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

اضرب المركّبات المتناظرة واجمع

a·b = (−6)·(−4) + 6·(−4) + 5·2 = 24 + (−24) + 10 = 10

الإجابة

a·b = 10

موجب: الزاوية بين المتّجهين أقل من 90°.

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: A = 22,48 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

متّجها الضلعين

AB = B − A = (5, 6, −3)

AC = C − A = (4, 2, −7)

الضرب الاتجاهي

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 6·(−7) − (−3)·2 = −36

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−3)·4 − 5·(−7) = 23

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 5·2 − 6·4 = −14

|AB × AC| = √((−36)² + 23² + (−14)²) = 44,96

مساحة المثلث

A = ½·44,96 = 22,48 m²

الإجابة

A = 22,48 m²

3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 48,75 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·1,5 + 45·2,5

R_B = 195/4 = 48,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 48,75 = 51,25 kN

الإجابة

R_B = 48,75 kN

4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 15,25 kN

مخطط الجسم الحر

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·2,5 + 8·2·3

R_B = 123/4 = 30,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 46 − 30,75 = 15,25 kN

الإجابة

R_A = 15,25 kN

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AB = −39,53 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 45·1 → C_y = 7,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 7,5 = 37,5 kN

العقدة A

افترض أن كل عضو في حالة شدّ (يسحب بعيدًا عن العقدة). فقط AB له مركّبة رأسية عند A.

sin α = 3/3,162 = 0,9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −37,5/0,9487 = −39,53 kN

الإجابة

F_AB = −39,53 kN (ضغط)

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AB = −59,29 kN

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 55·1 − 20·3 → C_y = −1,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − −1,25 = 56,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

العقدة A

افترض أن كل عضو في حالة شدّ (يسحب بعيدًا عن العقدة). فقط AB له مركّبة رأسية عند A.

sin α = 3/3,162 = 0,9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −56,25/0,9487 = −59,29 kN

الإجابة

F_AB = −59,29 kN (ضغط)

7.الإطارات والآلات

الإجابة: Q = 129,9 N

الآلات: تحوّل الزرادية والرافعات والوصلات والمشابك قوة دخل إلى قوة خرج أكبر أو بتوجيه مختلف. ارسم جزءًا واحدًا كجسم حر وخذ العزوم حول محوره: تسقط قوة المسمار، وتعطي F_in·a = F_out·b الفائدة الميكانيكية a/b. ثم تنتج قوة المسمار من ΣF = 0 على الجزء نفسه. وفي آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ؛ وكل ذراع عنصر ثنائي القوة، فتولّد قوة صغيرة F عند المفصل قوى كبيرة في الذراعين F/(2 sin θ) وقوة إطباق F/(2 tan θ).

اتزان المسمار B

2·F_link·sin 30° = 150

F_link = 150 N

قوة الإطباق

Q = F_link·cos 30° = 150/(2·tan 30°) = 129,9 N

الإجابة

Q = 129,9 N

نسبة القوى Q/F = 0,866 تكبر بلا حدود كلما استقام الذراعان.

8.الإطارات والآلات

الإجابة: T = 1,471 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣF_x = 0 وΣF_y = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

الإطار كاملًا: العزوم حول A

B_y·6 = 2·2,5

B_y = 0,8333 kN

الساق BC: العزوم حول C

0,8333·3 = T·1,7

T = 1,471 kN

الإجابة

T = 1,471 kN

القيمة الموجبة لـ T تعني أن الرباط في شدّ، كما افتُرض.

9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = −40 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. الازدواج المؤثّر يجعل مخطط عزم الانحناء يقفز بمقدار الازدواج.

ردود أفعال الركائز

العزوم حول A، عكس عقارب الساعة موجب: R_B·L − M₀ = 0. الاتزان الرأسي: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 50/10 = 5 kN (إلى الأعلى)

R_A = −R_B = −5 kN (إلى الأسفل)

اقطع يسار الازدواج مباشرةً

يحتوي الجزء الأيسر على R_A فقط.

M_x = R_A·a = −5·8 = −40 kN·m

الإجابة

M_x = −40 kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 77 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 80·7 + 2·8·4

R_B = 624/8 = 78 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 78 = 18 kN

أين يكون V = 0؟

V(7⁻) = R_A − w·7 = 4 kN

V(7⁺) = 4 − 80 = −76 kN

يتغيّر القص في إشارته عند الحمل، لذا يقع الحد الأقصى تحت الحمل.

أقصى عزم

M_max = R_A·7 − w·7²/2 = 18·7 − 2·7²/2 = 77 kN·m

الإجابة

M_max = 77 kN·m

يقع عند x = 7 m من A.

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 110 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (24000·120 − 1963·72)/(24000 − 1963) = 124,3 mm

اللوح الكامل حول ȳ

100·240³/12 + 24000·−4,277² = 115,6 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−52,28² = 5,673 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 110 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 110 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 99,04 × 10⁶ mm⁴

المركز

ȳ = (30000·100 − 1000·130)/(30000 − 1000) = 98,97 mm

اللوح الكامل حول ȳ

150·200³/12 + 30000·1,034² = 100 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

50·20³/12 + 1000·31,03² = 0,9965 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 99,04 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 99,04 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics