الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
متّجه الوحدة: û = a/|a|
المركّبات من زاوية: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b: a·b/|b|
الشغل: W = F·d
الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
المساحات: متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O: M_O = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح: V = |a·(b × c)|

الطريقة

اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة: القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار: متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار: F = √(F_x² + F_y²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية: F_in·a = F_out·b
آلية المفصل الركبي: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣF_x = 0 وΣF_y = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة

تؤثّر قوة ثابتة F = (−25, −5, 25) N على جسم بينما يتحرّك في خط مستقيم من النقطة A(3, −1, 2) إلى النقطة B(−5, −2, 4). الإحداثيات بالمتر. أوجد الشغل W الذي تبذله القوة.

F = (−25, −5, 25) NA(3, −1, 2) mB(−5, −2, 4) m

W = J

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة

تؤثّر قوة F = (−20, 10, 20) N عند النقطة A(−4, 3, −3). الإحداثيات بالمتر. أوجد مقدار |M| عزم القوة حول نقطة الأصل O(0, 0, 0).

F = (−20, 10, 20) NA(−4, 3, −3) mO(0, 0, 0) m

|M| = N·m

3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 3,5 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. أوجد ردّ الفعل الرأسي R_A، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

AB = 3,5 mAC = 5 mP₁ = 65 kN عند 2,5 mP₂ = 10 kN عند 5 m

R_A = kN

4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

كمرة مركّبة مثبَّتة في الجدار عند A، لها مفصل داخلي عند C (على بعد 4 m من A) وترتكز على بكرة عند D (على بعد 10 m من A). تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 5 m من A, حملًا موزّعًا بانتظام w على الجزء CD كله. أوجد ردّ الفعل R_D عند البكرة.

AC = 4 mAD = 10 mP = 80 kN عند 5 mw = 6 kN/m من 4 إلى 10 m

R_D = kN

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_BC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 5 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 1 m عن Aالحمل الرأسي = 15 kN

F_BC = kN

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 8 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 6 m عن Aالحمل الرأسي = 20 kNالحمل الأفقي = 10 kN ←

F_AC = kN

7.الإطارات والآلاتمتوسطة

يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 4,8 m. تلتقي الساقان عند المسمار C على ارتفاع 2,5 m، والرباط الأفقي DE على ارتفاع 1,2 m فوق الأرض. يؤثر حمل 5 kN عند C. أوجد مقدار القوة C التي يؤثر بها المسمار C على الساق BC.

P = 5 kNAB = 4,8 mارتفاع C = 2,5 mارتفاع DE = 1,2 m

C = kN

8.الإطارات والآلاتصعبة

ذراع AB أفقية منتظمة وزنها 1 kN مثبتة بمسمار بالجدار عند A ومشدودة بكابل من طرفها B إلى النقطة C على الجدار فوق A بمسافة 2,5 m. يتدلى حمل 10 kN عند B. أوجد قوة الشد T في الكابل.

W = 10 kNW_b = 1 kNAB = 6 mAC = 2,5 m

T = kN

9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملين مركّزين. أوجد أقصى عزم انحناء M_max في الكمرة.

L = 10 mP₁ = 40 kN عند 1 mP₂ = 40 kN عند 2 m

M_max = kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

40 kN @ 0 m15 kN @ 12 m40 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 180 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

مقطع I متماثل له شفتان عرض كلٍّ منهما 180 mm وسُمكها 24 mm، وعمق كلي 280 mm، وجذع سُمكه 12 mm. يحمل عزم انحناء مقداره 50 kN·m حول المحور x. أوجد مقدار أقصى إجهاد انحناء σ_max في المقطع.

B = 180 mmH = 280 mmt_f = 24 mmt_w = 12 mmM = 50 kN·m

σ_max = MPa

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: W = 255 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

الإزاحة

d = B − A = (−5, −2, 4) − (3, −1, 2) = (−8, −1, 2) m

الشغل

W = F·d = (−25)·(−8) + (−5)·(−1) + 25·2 = 255 J

الإجابة

W = 255 J

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: |M| = 167,6 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

متّجه الموضع من O إلى A

r = A − O = (−4, 3, −3) − (0, 0, 0) = (−4, 3, −3) m

العزم M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 3·20 − (−3)·10 = 90 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−3)·(−20) − (−4)·20 = 140 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−4)·10 − 3·(−20) = 20 N·m

المقدار

|M| = √(90² + 140² + 20²) = 167,6 N·m

الإجابة

|M| = 167,6 N·m

3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 14,29 kN

العزوم حول A

عكس عقارب الساعة موجب.

ΣM_A = 0: R_B·3,5 = 65·2,5 + 10·5

R_B = 212,5/3,5 = 60,71 kN

الاتزان الرأسي

R_A = 65 + 10 − 60,71 = 14,29 kN

الإجابة

R_A = 14,29 kN

4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_D = 31,33 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة. المفصل الداخلي لا يستطيع نقل عزم انحناء، وهذا يعطي معادلة إضافية: عزم القوى على أيٍّ من الجانبين حول المفصل يساوي صفرًا.

الجزء CD

المفصل ليس له عزم، لذا يجب أن تتوازن العزوم حول C على CD وحده.

W = 6·6 = 36 kN عند 3 m من C

ΣM_C = 0: R_D·6 = 80·1 + 36·3

R_D = 31,33 kN

V_C = 116 − 31,33 = 84,67 kN

الإجابة

R_D = 31,33 kN

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_BC = −4,243 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 15·1 → C_y = 3 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 3 = 12 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −3/0,7071 = −4,243 kN

الإجابة

F_BC = −4,243 kN (ضغط)

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AC = 5 kN

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 20·6 − 10·4 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 10 = 10 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −10/0,8944 = −11,18 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−11,18)·0,4472 = 5 kN

الإجابة

F_AC = 5 kN (شدّ)

7.الإطارات والآلات

الإجابة: C = 5,249 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣF_x = 0 وΣF_y = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

قوة الرباط من الساق BC

B_y = 2,5 kN

T = 2,5·2,4/1,3 = 4,615 kN

مركّبتا قوة المسمار على BC

C_x = T = 4,615 kN, C_y = −B_y = −2,5 kN

المقدار

C = √(4,615² + 2,5²) = 5,249 kN

الإجابة

C = 5,249 kN

8.الإطارات والآلات

الإجابة: T = 27,3 kN

زاوية الكابل

BC = √(6² + 2,5²) = 6,5 m, sin β = 0,3846

العزوم حول A

T·0,3846·6 = 10·6 + 1·3

T = 27,3 kN

الإجابة

T = 27,3 kN

9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 96 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·1 + 40·2

R_B = 120/10 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 12 = 68 kN

العزم تحت كل حمل

احتفظ بالجزء الواقع يسار كل حمل.

تحت P₁: M = R_A·1 = 68·1 = 68 kN·m

تحت P₂: M = R_B·8 = 12·8 = 96 kN·m

أكبر قيمة

M_max = 96 kN·m (تحت P₂)

الإجابة

M_max = 96 kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: B (x = 2 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 66,25 kN, R₂ = 28,75 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = −80 kN·m, M_C = −27,5, M_D = 25, M_E = −2,5, M_F = −30, M_G = 0

الإجابة

علامة B: M_B = −80 kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 11,34 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 180·25 = 4500 mm², y_f = 120 + 25/2 = 132,5 mm

الجذع: A_w = 20·120 = 2400 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·132,5 + 2400·60)/6900 = 107,3 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 180·25³/12 + 4500·(132,5 − 107,3)² = 3,096 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 20·120³/12 + 2400·(60 − 107,3)² = 8,246 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,096 × 10⁶ + 8,246 × 10⁶ = 1,134 × 10⁷ mm⁴ = 11,34 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 11,34 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_max = 45,32 MPa

المستطيل الخارجي ناقص الفراغين الجانبيين

عرض الفراغين معًا (B − t_w) وارتفاعهما h_w = H − 2t_f، ويشتركان في المحور x.

h_w = 280 − 2·24 = 232 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·280³ − 168·232³)/12

I_x = 1,545 × 10⁸ mm⁴

إجهاد الانحناء

y = 140 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·140/1,545 × 10⁸ = 45,32 MPa

الإجابة

σ_max = 45,32 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics