الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
متّجه الوحدة: û = a/|a|
المركّبات من زاوية: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b: a·b/|b|
الشغل: W = F·d
الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
المساحات: متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O: M_O = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح: V = |a·(b × c)|

الطريقة

اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة: القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار: متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار: F = √(F_x² + F_y²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية: F_in·a = F_out·b
آلية المفصل الركبي: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣF_x = 0 وΣF_y = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة

أوجد الزاوية θ بين المتّجهين a = (−3, 4, −3) و b = (1, −6, 3)، بالدرجات.

a = (−3, 4, −3)b = (1, −6, 3)

θ = °

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة

تؤثّر قوة F = (0, −10, 20) N عند النقطة A(2, 4, −3). الإحداثيات بالمتر. أوجد المركّبة x M_x لعزم القوة حول النقطة O(−3, −2, 3).

F = (0, −10, 20) NA(2, 4, −3) mO(−3, −2, 3) m

M_x = N·m

3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_B.

L = 5 mP₁ = 55 kN عند 2,5 mP₂ = 55 kN عند 4 m

R_B = kN

4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_B.

L = 10 mP = 60 kN عند 6 mw = 12 kN/m من 1 إلى 2 m

R_B = kN

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

D: 40 kN ↓G: 40 kN ↓H: 15 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو FC
13العضو HC

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 25 kN ↓F: 25 kN ↓F: 30 kN →

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو BG
13العضو DG

7.الإطارات والآلاتمتوسطة

عارضة أفقية AB مثبتة بمسمار بالجدار عند A ومسنودة بالدعامة CD المثبتة بمسمار بالجدار عند C، تحت A بمسافة 0,8 m. يتدلى حمل 8 kN عند B. أهمل الأوزان. أوجد مقدار قوة المسمار A على العارضة عند A.

P = 8 kNAD = 1,2 mAB = 1,5 mAC = 0,8 m

A = kN

8.الإطارات والآلاتصعبة

العارضة AB في الكابول الجداري الموضح مثبتة بمسمار عند A ومسنودة بالدعامة CD (النقطة C تحت A بمسافة 0,5 m). تحمل العارضة حملًا منتظمًا 5 kN/m على طولها كله وحملًا مركّزًا 4 kN عند طرفها الحر B. أوجد القوة F_CD في الدعامة.

w = 5 kN/mP = 4 kNAD = 0,75 mAB = 2 mAC = 0,5 m

F_CD = kN

9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 2,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 6 mw = 6 kN/m من 0 إلى 6 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله وحملًا مركّزًا P. أوجد أقصى عزم انحناء M_max في الكمرة.

L = 8 mP = 35 kN عند 4 mw = 3 kN/m من 0 إلى 8 m

M_max = kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 30 kN·m. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σ_الأعلى عند الحافة العلوية.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 220 mmM = 30 kN·m

σ_الأعلى = MPa

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: θ = 155,5 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

الضرب القياسي

a·b = (−3)·1 + 4·(−6) + (−3)·3 = −36

المقداران

|a| = √((−3)² + 4² + (−3)²) = 5,831

|b| = √(1² + (−6)² + 3²) = 6,782

الزاوية

cos θ = −36/(5,831·6,782) = −0,9103

θ = arccos(−0,9103) = 155,5°

الإجابة

θ = 155,5°

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: M_x = 60 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

متّجه الموضع من O إلى A

r = A − O = (2, 4, −3) − (−3, −2, 3) = (5, 6, −6) m

العزم M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 6·20 − (−6)·(−10) = 60 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−6)·0 − 5·20 = −100 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 5·(−10) − 6·0 = −50 N·m

المركّبة المطلوبة

M_x = 60 N·m

الإجابة

M_x = 60 N·m

3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 71,5 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·2,5 + 55·4

R_B = 357,5/5 = 71,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 71,5 = 38,5 kN

الإجابة

R_B = 71,5 kN

4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 37,8 kN

مخطط الجسم الحر

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN، تؤثّر عند x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·6 + 12·1·1,5

R_B = 378/10 = 37,8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 37,8 = 34,2 kN

الإجابة

R_B = 37,8 kN

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو BF

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة B

يقع AB وBC على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 45 kN (T), BC: 45 kN (T), CD: 81,67 kN (T), DE: 81,67 kN (T), FG: 90 kN (C), GH: 90 kN (C), AF: 56,25 kN (C), HE: 102,1 kN (C), BF: 0, CG: 40 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 56,25 kN (T), HC: 10,42 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: BF

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 60 kN (T), BC: 40 kN (T), CD: 40 kN (T), DE: 20 kN (T), FG: 60 kN (C), GH: 20 kN (C), AF: 42,43 kN (C), HE: 28,28 kN (C), BF: 5 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), BG: 28,28 kN (T), DG: 28,28 kN (C)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG

7.الإطارات والآلات

الإجابة: A = 15,13 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣF_x = 0 وΣF_y = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

قوة الدعامة

F_CD = 8·1,5/(0,5547·1,2) = 18,03 kN

المركّبتان عند A

A_x = F_CD·cos α = 15 kN (نحو الجدار)

A_y = 8 − F_CD·sin α = −2 kN

المقدار

A = √(15² + −2²) = 15,13 kN

الإجابة

A = 15,13 kN

القيمة السالبة لـ A_y تعني أن الجدار يشدّ العارضة إلى الأسفل عند A.

8.الإطارات والآلات

الإجابة: F_CD = 43,27 kN

محصلة الحمل المنتظم

w·L = 5·2 = 10 kN عند 1 m

العزوم حول A للعارضة

F_CD·0,5547·0,75 = 10·1 + 4·2 = 18 kN·m

F_CD = 43,27 kN

الإجابة

F_CD = 43,27 kN

9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 26,25 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·6·3

R_B = 108/6 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 18 = 18 kN

اقطع عند x = 2,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 18·2,5 − 6·2,5·1,25 = 26,25 kN·m

الإجابة

M_x = 26,25 kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 94 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·4 + 3·8·4

R_B = 236/8 = 29,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 59 − 29,5 = 29,5 kN

أين يكون V = 0؟

V(4⁻) = R_A − w·4 = 17,5 kN

V(4⁺) = 17,5 − 35 = −17,5 kN

يتغيّر القص في إشارته عند الحمل، لذا يقع الحد الأقصى تحت الحمل.

أقصى عزم

M_max = R_A·4 − w·4²/2 = 29,5·4 − 3·4²/2 = 94 kN·m

الإجابة

M_max = 94 kN·m

يقع عند x = 4 m من A.

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 58,56 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 300·10 = 3000 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

الجذع: A_w = 10·300 = 3000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·305 + 3000·150)/6000 = 227,5 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 300·10³/12 + 3000·(305 − 227,5)² = 1,804 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 10·300³/12 + 3000·(150 − 227,5)² = 4,052 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,804 × 10⁷ + 4,052 × 10⁷ = 5,856 × 10⁷ mm⁴ = 58,56 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 58,56 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأعلى = 68,02 MPa

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227,5 mm

الجذع: A_w = 8·220 = 1760 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·227,5 + 1760·110)/4760 = 184,1 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 200·15³/12 + 3000·(227,5 − 184,1)² = 5,719 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 8·220³/12 + 1760·(110 − 184,1)² = 1,675 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,719 × 10⁶ + 1,675 × 10⁷ = 2,247 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة العلوية h − ȳ عن المحور.

y = 235 − 184,1 = 50,95 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·50,95/2,247 × 10⁷ = 68,02 MPa

الإجابة

σ_الأعلى = 68,02 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics