يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 3,2 m، ومسمار قمته C على ارتفاع 2,4 m والرباط الأفقي DE على ارتفاع 1 m فوق الأرض. يؤثر حمل رأسي 12 kN على الساق AC عند K التي تبعد 0,96 m (أفقيًا) عن A. أوجد قوة الشد T في الرباط.
P = 12 kNAB = 3,2 mارتفاع C = 2,4 mارتفاع DE = 1 mالمسافة الأفقية من A إلى K = 0,96 m
T = kN
8.الإطارات والآلاتصعبة
العارضة AB في الكابول الجداري الموضح مثبتة بمسمار عند A ومسنودة بالدعامة CD (النقطة C تحت A بمسافة 0,6 m). تحمل العارضة حملًا منتظمًا 5 kN/m على طولها كله وحملًا مركّزًا 10 kN عند طرفها الحر B. أوجد القوة FCD في الدعامة.
w = 5 kN/mP = 10 kNAD = 0,75 mAB = 2,4 mAC = 0,6 m
FCD = kN
9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
الكابولي مثبَّت عند A. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله وحملًا مركّزًا P على بعد 2,5 m من A. أوجد عزم الانحناء MA عند الركيزة المثبَّتة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.
L = 2,5 mP = 35 kN عند 2,5 mw = 10 kN/m من 0 إلى 2,5 m
MA = kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام على جزء من بحرها. أوجد أقصى عزم انحناء Mmax في الكمرة.
L = 8 mw = 20 kN/m من 1 إلى 3 m
Mmax = kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
مقطع I متماثل له شفتان عرض كلٍّ منهما 160 mm وسُمكها 14 mm، وعمق كلي 500 mm، وجذع سُمكه 8 mm. أوجد معامل المقطع المرن Sx للانحناء حول المحور المركزي الأفقي x.
B = 160 mmH = 500 mmtf = 14 mmtw = 8 mm
Sx = × 10³ mm³
12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
لوح أبعاده 200 mm × 240 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 80 mm وارتفاعها 40 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 156 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة Ix حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.
b = 200 mmh = 240 mmالفتحة: 80 × 40 mmمركز الثقب: y = 156 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3المحاليل
1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي
الإجابة: a·b = −60
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
الضرب الاتجاهي b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = (−3)·(−2) − 1·5 = 1
(b × c)y = bzcx − bxcz = 1·(−1) − (−3)·(−2) = −7
(b × c)z = bxcy − bycx = (−3)·5 − (−3)·(−1) = −18
الضرب القياسي مع a
a·(b × c) = (−3)·1 + 0·(−7) + (−1)·(−18) = 15
V = |15| = 15
الإجابة
V = 15
3.ردود أفعال ركائز الكمرات
الإجابة: RB = 3,333 kN
الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.
محصّلة الحمل المثلثي
W = ½·4·5 = 10 kN
x̄ = L/3 = 1,667 m
الاتزان
العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.
ΣMA = 0: RB·5 = 10·1,667
RB = 3,333 kN
RA = 10 − 3,333 = 6,667 kN
الإجابة
RB = 3,333 kN
4.ردود أفعال ركائز الكمرات
الإجابة: RB = 23,25 kN
الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.
مخطط الجسم الحر
استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.
الاتزان
العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.
محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 4·1 = 4 kN، تؤثّر عند x̄ = 0,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 55·2,5 + 4·1·0,5
RB = 139,5/6 = 23,25 kN
ΣFy = 0: RA = 59 − 23,25 = 35,75 kN
الإجابة
RB = 23,25 kN
5.الجملون: طريقة العقد
الإجابة: العضو CG
أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.
العقدة C
يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
تحقق بطريقة العقد
حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).
أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.
العقدة C
يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
تحقق بطريقة العقد
حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).
الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.
الإطار كاملًا: العزوم حول A
By = 12·0,96/3,2 = 3,6 kN
الساق BC: العزوم حول C
3,6·1,6 = T·1,4
T = 4,114 kN
الإجابة
T = 4,114 kN
8.الإطارات والآلات
الإجابة: FCD = 81,96 kN
الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.
محصلة الحمل المنتظم
w·L = 5·2,4 = 12 kN عند 1,2 m
العزوم حول A للعارضة
FCD·0,6247·0,75 = 12·1,2 + 10·2,4 = 38,4 kN·m
FCD = 81,96 kN
الإجابة
FCD = 81,96 kN
9.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: MA = −118,8 kN·m
طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.
احتفظ بجزء الطرف الحر
P: −35·2,5 = −87,5 kN·m
w: −10·2,5²/2 = −31,25 kN·m
MA = −87,5 − 31,25 = −118,8 kN·m
الإجابة
MA = −118,8 kN·m
الإشارة السالبة تعني التحدّب: شدّ على الوجه العلوي.
10.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: Mmax = 52,5 kN·m
طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.
ردود أفعال الركائز
اتزان الكمرة كلها.
محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 20·2 = 40 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·8 = 20·2·2
RB = 80/8 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 10 = 30 kN
انعدام القص
تبدأ قوة القص عند RA، وتبقى ثابتة على أي جزء غير محمَّل، وتتناقص بميل w داخل الحمل.
عزم القصور الذاتي: للمستطيل حول محوره المركزي I = bh³/12، وحول قاعدته bh³/3 (نظرية المحور الموازي I = Ic + A·d²). يُعالَج الثقب بطرح عزم قصوره I، بشرط أن يشترك الجزءان في المحور نفسه. معامل المقطع المرن S = I/c، حيث c هي المسافة إلى الليف الأبعد.
المستطيل الخارجي ناقص الفراغين الجانبيين
عرض الفراغين معًا (B − tw) وارتفاعهما hw = H − 2tf، ويشتركان في المحور x.
المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل Ic = bh³/12 وللدائرة Ic = πd⁴/64.
المركز
ȳ = (48000·120 − 3200·156)/(48000 − 3200) = 117,4 mm