طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.
الإطارات والآلات
اتزان كل عنصر
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة
القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار
متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار
F = √(Fx² + Fy²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية
Fin·a = Fout·b
آلية المفصل الركبي
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
الطريقة
ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣFx = 0 وΣFy = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.
قوة القص وعزم الانحناء
القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8
الطريقة
أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.
المركز وعزم القصور الذاتي
المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2مسائل تدريبية
1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة
أوجد الزاوية θ بين المتّجهين a = (−2, −4, 4) و b = (−3, 6, −6)، بالدرجات.
a = (−2, −4, 4)b = (−3, 6, −6)
θ = °
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة
تؤثّر قوة F = (50, 30, −60) N عند النقطة A(1, 2, 1). الإحداثيات بالمتر. أوجد المركّبة z Mz لعزم القوة حول النقطة O(3, −3, 0).
F = (50, 30, −60) NA(1, 2, 1) mO(3, −3, 0) m
Mz = N·m
3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 4 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. أوجد ردّ الفعل الرأسي RA، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.
AB = 4 mAC = 6 mP1 = 15 kN عند 1,5 mP2 = 80 kN عند 6 m
RA = kN
4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
كمرة مركّبة مثبَّتة في الجدار عند A، لها مفصل داخلي عند C (على بعد 5 m من A) وترتكز على بكرة عند D (على بعد 10 m من A). تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 7 m من A, حملًا موزّعًا بانتظام w على الجزء CD كله. أوجد ردّ الفعل RD عند البكرة.
AC = 5 mAD = 10 mP = 15 kN عند 7 mw = 5 kN/m من 5 إلى 10 m
RD = kN
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FBC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.
البحر = 4 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 3 m عن Aالحمل الرأسي = 50 kN
FBC = kN
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FAC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.
البحر = 8 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 5 m عن Aالحمل الرأسي = 15 kNالحمل الأفقي = 5 kN ←
FAC = kN
7.الإطارات والآلاتمتوسطة
تدور الذراع الزاوية الموضحة حول المسمار O. تتوازن قوة رأسية 100 N عند A (على بُعد 120 mm من O) مع قوة أفقية عند B (على ارتفاع 150 mm فوق O). أوجد مقدار رد فعل المسمار FO.
F = 100 NOA = 120 mmOB = 150 mm
FO = N
8.الإطارات والآلاتصعبة
للإطار الموضح مسامير عند A وB وC؛ النقطتان A وC مثبتتان بالأرض والمسافة بينهما 5 m، والنقطة B على ارتفاع 3 m وعلى بُعد 1,5 m إلى يمين A. يحمل العنصر AB حملًا رأسيًا 5 kN عند K التي تبعد 0,9 m (أفقيًا) عن A، ويؤثر حمل أفقي 8 kN نحو اليمين عند B على العنصر AB. أوجد مقدار رد الفعل الأفقي Ax عند A.
P = 5 kNQ = 8 kNL = 5 mH = 3 mالمسافة الأفقية من A إلى B = 1,5 mالمسافة الأفقية من A إلى K = 0,9 m
Ax = kN
9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
الكابولي مثبَّت عند A. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله وحملًا مركّزًا P على بعد 1 m من A. أوجد عزم الانحناء Mx عند المقطع x = 0,5 m من الركيزة المثبَّتة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.
L = 3 mP = 75 kN عند 1 mw = 3 kN/m من 0 إلى 3 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.
60 kN @ 6 m15 kN @ 1 m10 kN/m, 0–5 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
أوجد عزم القصور الذاتي Ix لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.
bf = 140 mmtf = 20 mmtw = 10 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
لوح أبعاده 120 mm × 150 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 30 mm وارتفاعها 30 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 60 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة Ix حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.
b = 120 mmh = 150 mmالفتحة: 30 × 30 mmمركز الثقب: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3المحاليل
1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي
الإجابة: θ = 141,1 °
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
الضرب القياسي
a·b = (−2)·(−3) + (−4)·6 + 4·(−6) = −42
المقداران
|a| = √((−2)² + (−4)² + 4²) = 6
|b| = √((−3)² + 6² + (−6)²) = 9
الزاوية
cos θ = −42/(6·9) = −0,7778
θ = arccos(−0,7778) = 141,1°
الإجابة
θ = 141,1°
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي
الإجابة: Mz = −310 N·m
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.
العزوم حول A
عكس عقارب الساعة موجب.
ΣMA = 0: RB·4 = 15·1,5 + 80·6
RB = 502,5/4 = 125,6 kN
الاتزان الرأسي
RA = 15 + 80 − 125,6 = −30,63 kN
الإجابة
RA = −30,63 kN
RA سالب: على المسمار عند A أن يمسك الكمرة إلى الأسفل.
4.ردود أفعال ركائز الكمرات
الإجابة: RD = 18,5 kN
الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة. المفصل الداخلي لا يستطيع نقل عزم انحناء، وهذا يعطي معادلة إضافية: عزم القوى على أيٍّ من الجانبين حول المفصل يساوي صفرًا.
الجزء CD
المفصل ليس له عزم، لذا يجب أن تتوازن العزوم حول C على CD وحده.
W = 5·5 = 25 kN عند 2,5 m من C
ΣMC = 0: RD·5 = 15·2 + 25·2,5
RD = 18,5 kN
VC = 40 − 18,5 = 21,5 kN
الإجابة
RD = 18,5 kN
5.الجملون: طريقة العقد
الإجابة: FBC = −41,93 kN
طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.
ردود أفعال الركائز
اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.
ΣMA = 0: Cy·4 = 50·3 → Cy = 37,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 37,5 = 12,5 kN
العقدة C
البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.
sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.
ردود أفعال الركائز
اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.
ΣMA = 0: Cy·8 = 15·5 − 5·2 → Cy = 8,125 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 8,125 = 6,875 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN
العقدة C
البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.
sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
الآلات: تحوّل الزرادية والرافعات والوصلات والمشابك قوة دخل إلى قوة خرج أكبر أو بتوجيه مختلف. ارسم جزءًا واحدًا كجسم حر وخذ العزوم حول محوره: تسقط قوة المسمار، وتعطي Fin·a = Fout·b الفائدة الميكانيكية a/b. ثم تنتج قوة المسمار من ΣF = 0 على الجزء نفسه. وفي آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ؛ وكل ذراع عنصر ثنائي القوة، فتولّد قوة صغيرة F عند المفصل قوى كبيرة في الذراعين F/(2 sin θ) وقوة إطباق F/(2 tan θ).
القوة عند B
Q = 100·120/150 = 80 N
رد فعل المسمار
Ox = 80 N, Oy = 100 N
FO = √(80² + 100²) = 128,1 N
الإجابة
FO = 128,1 N
8.الإطارات والآلات
الإجابة: Ax = 1,35 kN
الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.
اتجاه BC
BC = 4,61 m, cos = 0,7593, sin = 0,6508
الإطار كاملًا: العزوم حول A
FBC·0,6508·5 = 5·0,9 + 8·3
FBC = 8,759 kN
الاتزان الأفقي
Ax + 8 − 8,759·0,7593 = 0
Ax = −1,35 kN → |Ax| = 1,35 kN
الإجابة
Ax = 1,35 kN
تعني الإشارة السالبة أن Ax تتجه نحو اليسار.
9.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: Mx = −46,88 kN·m
طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.
احتفظ بجزء الطرف الحر
P: −75·0,5 = −37,5 kN·m
w: −3·2,5²/2 = −9,375 kN·m
Mx = −37,5 − 9,375 = −46,88 kN·m
الإجابة
Mx = −46,88 kN·m
الإشارة السالبة تعني التحدّب: شدّ على الوجه العلوي.
10.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: F (x = 5 m)
أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.
ردود أفعال الركائز
خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.
R1 = 25 kN, R2 = 100 kN
عزم الانحناء عند كل علامة
اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.
MA = 0, MB = 20, MC = 15, MD = 0, ME = −25, MF = −60 kN·m, MG = 0
الإجابة
علامة F: MF = −60 kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتي
الإجابة: Ix = 33,45 × 10⁶ mm⁴
المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.
قسّم إلى مستطيلين
قِس كل y من الحافة السفلية.
الشفة: Af = 140·20 = 2800 mm², yf = 240 + 20/2 = 250 mm
الجذع: Aw = 10·240 = 2400 mm², yw = 240/2 = 120 mm
المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل Ic = bh³/12 وللدائرة Ic = πd⁴/64.