الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار
|a| = √(ax² + ay² + az²)
متّجه الوحدة
û = a/|a|
المركّبات من زاوية
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
الضرب القياسي
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b
a·b/|b|
الشغل
W = F·d
الضرب الاتجاهي
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
المساحات
متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O
MO = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح
V = |a·(b × c)|

الطريقة

  1. اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
  2. للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
  3. استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
  4. استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم
M = F·d

الطريقة

  1. ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
  2. استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
  3. خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
  4. استخدم ΣFy = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
طريقة المقاطع
ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو
موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
  2. طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
  3. طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
  4. افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة
القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار
متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار
F = √(Fx² + Fy²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية
Fin·a = Fout·b
آلية المفصل الركبي
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

  1. ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
  2. حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
  3. فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
  4. لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣFx = 0 وΣFy = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة
xyzab

أوجد قيمة k التي يكون عندها المتّجهان a = (5, 3, −3) و b = (−3, 0, k) متعامدين.

a = (5, 3, −3)b = (−3, 0, k)
k =
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة
xyzabc

أوجد حجم V متوازي السطوح الذي أضلاعه من رأس واحد a = (0, −5, 3) و b = (−1, −2, −1) و c = (−3, −3, 3).

a = (0, −5, 3)b = (−1, −2, −1)c = (−3, −3, 3)
V =
3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
P1​ = 20 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​ = ?5 m4 m1 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RB.

L = 10 mP1 = 20 kN عند 5 mP2 = 45 kN عند 9 m
RB = kN
4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
P = 75 kN, 40°Q = 15 kNABRA​ = ?0,5 m2 m1,5 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. يؤثّر حمل P على بعد 2,5 m من A، مائلًا بزاوية 40° عن الأفق، ويؤثّر حمل رأسي Q على بعد 0,5 m من A. أوجد مقدار قوة ردّ الفعل الكلية RA عند المسمار A.

L = 4 mP = 75 kN عند 2,5 m, θ = 40°Q = 15 kN عند 0,5 m
RA = kN
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
ABBCACACB30 kN8 m7 m2 m

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FAB في العضو AB. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 8 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 7 m عن Aالحمل الرأسي = 30 kN
FAB = kN
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
ABCDEFGH30 kN30 kN35 kN10 kN4 × 3 m4 m

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

D: 30 kN ↓F: 30 kN →G: 35 kN ↓H: 10 kN ↓
  1. 1العضو AB
  2. 2العضو BC
  3. 3العضو CD
  4. 4العضو DE
  5. 5العضو FG
  6. 6العضو GH
  7. 7العضو AF
  8. 8العضو HE
  9. 9العضو BF
  10. 10العضو CG
  11. 11العضو DH
  12. 12العضو FC
  13. 13العضو HC
7.الإطارات والآلاتمتوسطة
4 kN1,6 m2 m1,5 mABCD

عارضة أفقية AB مثبتة بمسمار بالجدار عند A ومسنودة بالدعامة CD المثبتة بمسمار بالجدار عند C، تحت A بمسافة 1,5 m. يتدلى حمل 4 kN عند B. أهمل الأوزان. أوجد مقدار قوة المسمار A على العارضة عند A.

P = 4 kNAD = 1,6 mAB = 3,6 mAC = 1,5 m
A = kN
8.الإطارات والآلاتصعبة
15 kN1 kN2,5 m4 mABC

ذراع AB أفقية منتظمة وزنها 1 kN مثبتة بمسمار بالجدار عند A ومشدودة بكابل من B إلى النقطة C على الجدار فوق A بمسافة 4 m. يتدلى حمل 15 kN عند B. أوجد مقدار رد فعل المسمار A.

W = 15 kNWb = 1 kNAB = 2,5 mAC = 4 m
A = kN
9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
30 kN20 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

30 kN @ 6 m20 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
6 kN/m50 kN20 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

50 kN @ 0 m20 kN @ 12 m6 kN/m, 2–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
xD = 140d = 120الأبعاد بالـ mm

أنبوب دائري قطره الخارجي D = 140 mm وقطره الداخلي d = 120 mm. أوجد نصف قطر الدوران r حول المحور المركزي الأفقي.

D = 140 mmd = 120 mm
r = mm
12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
2401020012xM = 50 kN·mالأبعاد بالـ mm

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 50 kN·m. أوجد إجهاد الانحناء σالأسفل عند الحافة السفلية.

bf = 240 mmtf = 10 mmtw = 12 mmhw = 200 mmM = 50 kN·m
σالأسفل = MPa

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: k = −5

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

الضرب القياسي يساوي صفرًا

a·b = 5·(−3) + 3·0 + (−3)·k = 0
−15 + (−3)·k = 0

حلّ لإيجاد k

k = −(−15)/(−3) = −5

الإجابة

k = −5
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: V = 39

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

الضرب الاتجاهي b × c

(b × c)x = bycz − bzcy = (−2)·3 − (−1)·(−3) = −9
(b × c)y = bzcx − bxcz = (−1)·(−3) − (−1)·3 = 6
(b × c)z = bxcy − bycx = (−1)·(−3) − (−2)·(−3) = −3

الضرب القياسي مع a

a·(b × c) = 0·(−9) + (−5)·6 + 3·(−3) = −39
V = |−39| = 39

الإجابة

V = 39
3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RB = 50,5 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

P1​ = 20 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​5 m4 m1 m

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣMA = 0: RB·10 = 20·5 + 45·9
RB = 505/10 = 50,5 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 50,5 = 14,5 kN

الإجابة

RB = 50,5 kN
4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RA = 65,38 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مركّبتا P

Pv = 75·sin 40° = 48,21 kN
Ph = 75·cos 40° = 57,45 kN

ردود الأفعال

ΣMA = 0: RB·4 = 48,21·2,5 + 15·0,5 → RB = 32,01 kN
Ay = 48,21 + 15 − 32,01 = 31,2 kN
Ax = Ph = 57,45 kN

المحصّلة عند A

RA = √(57,45² + 31,2²) = 65,38 kN

الإجابة

RA = 65,38 kN
5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: FAB = −13,65 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ABBCACACB30 kNAy​Cy​

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣMA = 0: Cy·8 = 30·7 → Cy = 26,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 26,25 = 3,75 kN

العقدة A

افترض أن كل عضو في حالة شدّ (يسحب بعيدًا عن العقدة). فقط AB له مركّبة رأسية عند A.

sin α = 2/7,28 = 0,2747
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −3,75/0,2747 = −13,65 kN

الإجابة

FAB = −13,65 kN (ضغط)
6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو BF

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة B

يقع AB وBC على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 43,13 kN (T), BC: 43,13 kN (T), CD: 43,12 kN (T), DE: 43,12 kN (T), FG: 56,25 kN (C), GH: 56,25 kN (C), AF: 21,88 kN (C), HE: 71,87 kN (C), BF: 0, CG: 35 kN (C), DH: 30 kN (T), FC: 21,88 kN (T), HC: 21,88 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: BF
7.الإطارات والآلات

الإجابة: A = 10,82 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

قوة الدعامة

FCD = 4·3,6/(0,6839·1,6) = 13,16 kN

المركّبتان عند A

Ax = FCD·cos α = 9,6 kN (نحو الجدار)
Ay = 4 − FCD·sin α = −5 kN

المقدار

A = √(9,6² + −5²) = 10,82 kN

الإجابة

A = 10,82 kN

القيمة السالبة لـ Ay تعني أن الجدار يشدّ العارضة إلى الأسفل عند A.

8.الإطارات والآلات

الإجابة: A = 9,7 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

قوة الشد في الكابل

T = (15 + 1/2)/0,848 = 18,28 kN

المركّبتان عند A

Ax = T·cos β = 9,688 kN
Ay = 15 + 1 − T·sin β = 0,5 kN

المقدار

A = √(9,688² + 0,5²) = 9,7 kN

الإجابة

A = 9,7 kN
9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: D (x = 6 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R1 = 31,67 kN, R2 = 18,33 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

MA = 0, MB = 63,33, MC = 86,67, MD = 110 kN·m, ME = 73,33, MF = 36,67, MG = 0

الإجابة

علامة D: MD = 110 kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: B (x = 2 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R1 = 71,33 kN, R2 = 34,67 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

MA = 0, MB = −100 kN·m, MC = −69,33, MD = −62,67, ME = −80, MF = −40, MG = 0

الإجابة

علامة B: MB = −100 kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: r = 46,1 mm

عزم القصور الذاتي: للمستطيل حول محوره المركزي I = bh³/12، وحول قاعدته bh³/3 (نظرية المحور الموازي I = Ic + A·d²). يُعالَج الثقب بطرح عزم قصوره I، بشرط أن يشترك الجزءان في المحور نفسه. معامل المقطع المرن S = I/c، حيث c هي المسافة إلى الليف الأبعد. نصف قطر الدوران r = √(I/A) هو المسافة التي لو تركّزت عندها المساحة كلها لأعطت I نفسه؛ ويُستخدم في انبعاج الأعمدة.

المساحة الصافية وعزم القصور الذاتي

A = π(D² − d²)/4 = 4084 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 8,679 × 10⁶ mm⁴

نصف قطر الدوران

r = √(I/A) = √(8,679 × 10⁶/4084) = 46,1 mm

الإجابة

r = 46,1 mm
12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σالأسفل = 358,8 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: Af = 240·10 = 2400 mm², yf = 200 + 10/2 = 205 mm
الجذع: Aw = 12·200 = 2400 mm², yw = 200/2 = 100 mm

المركز

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2400·205 + 2400·100)/4800 = 152,5 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 240·10³/12 + 2400·(205 − 152,5)² = 6,635 × 10⁶ mm⁴
الجذع: 12·200³/12 + 2400·(100 − 152,5)² = 1,462 × 10⁷ mm⁴
Ix = 6,635 × 10⁶ + 1,462 × 10⁷ = 2,125 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة السفلية ȳ عن المحور.

y = 152,5 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·152,5/2,125 × 10⁷ = 358,8 MPa

الإجابة

σالأسفل = 358,8 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics