الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
متّجه الوحدة: û = a/|a|
المركّبات من زاوية: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b: a·b/|b|
الشغل: W = F·d
الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
المساحات: متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O: M_O = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح: V = |a·(b × c)|

الطريقة

اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة: القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار: متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار: F = √(F_x² + F_y²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية: F_in·a = F_out·b
آلية المفصل الركبي: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣF_x = 0 وΣF_y = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة

أوجد الضرب القياسي a·b للمتّجهين a = (−7, 4, 1) و b = (1, 6, 5).

a = (−7, 4, 1)b = (1, 6, 5)

a·b =

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة

متّجه الوحدة n̂ عمودي على a = (−3, −3, −4) و b = (−5, −1, −1) كليهما وله مركّبة z موجبة. أوجد مركّبته x n̂_x.

a = (−3, −3, −4)b = (−5, −1, −1)n̂_z > 0

n̂_x =

3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

الكمرة البسيطة الارتكاز (مسمار في A، بكرة في B) تحمل حملًا متغيّرًا خطيًا يرتفع من الصفر عند A إلى 12 kN/m عند B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_B.

L = 5 mw₀ = 12 kN/m

R_B = kN

4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 4 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 1,5 m من A وحملًا موزّعًا بانتظام w من 3 m حتى الطرف الحر عند 6 m. أوجد ردّ الفعل الرأسي R_A، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

AB = 4 mAC = 6 mP = 65 kN عند 1,5 mw = 4 kN/m من 3 إلى 6 m

R_A = kN

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 4 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 1 m عن Aالحمل الرأسي = 55 kN

F_AC = kN

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

D: 40 kN ↓F: 30 kN ↓F: 15 kN →G: 10 kN ↓H: 20 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو BG
13العضو DG

7.الإطارات والآلاتمتوسطة

يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 5 m، ومسمار قمته C على ارتفاع 2 m والرباط الأفقي DE على ارتفاع 0,6 m فوق الأرض. يؤثر حمل رأسي 15 kN على الساق AC عند K التي تبعد 1,875 m (أفقيًا) عن A. أوجد قوة الشد T في الرباط.

P = 15 kNAB = 5 mارتفاع C = 2 mارتفاع DE = 0,6 mالمسافة الأفقية من A إلى K = 1,875 m

T = kN

8.الإطارات والآلاتصعبة

ذراع AB أفقية منتظمة وزنها 2 kN مثبتة بمسمار بالجدار عند A ومشدودة بكابل من B إلى النقطة C على الجدار فوق A بمسافة 1 m. يتدلى حمل 6 kN عند B. أوجد مقدار رد فعل المسمار A.

W = 6 kNW_b = 2 kNAB = 6 mAC = 1 m

A = kN

9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل ازدواجًا باتجاه عقارب الساعة M₀ = 10 kN·m عند x = 4 m من A، ولا يوجد حمل آخر. أوجد عزم الانحناء M_x يسار الازدواج مباشرةً. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 8 mM₀ = 10 kN·m باتجاه عقارب الساعة، عند 4 m

M_x = kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام على جزء من بحرها. أوجد أقصى عزم انحناء M_max في الكمرة.

L = 4 mw = 8 kN/m من 0 إلى 2 m

M_max = kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

لوح أبعاده 120 mm × 150 mm فيه ثقب دائري قطره 40 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 45 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 120 mmh = 150 mmd = 40 mmمركز الثقب: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 5 kN·m. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σ_الأعلى عند الحافة العلوية.

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 200 mmM = 5 kN·m

σ_الأعلى = MPa

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: a·b = 22

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

اضرب المركّبات المتناظرة واجمع

a·b = (−7)·1 + 4·6 + 1·5 = (−7) + 24 + 5 = 22

الإجابة

a·b = 22

موجب: الزاوية بين المتّجهين أقل من 90°.

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: n̂_x = 0,048

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

الضرب الاتجاهي

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−3)·(−1) − (−4)·(−1) = −1

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−4)·(−5) − (−3)·(−1) = 17

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−3)·(−1) − (−3)·(−5) = −12

التسوية إلى الوحدة

المركّبة z لـ a × b سالبة، لذا استخدم −(a × b).

|a × b| = √((−1)² + 17² + (−12)²) = 20,83

n̂ = −(−1, 17, −12)/20,83 = (0,048, −0,816, 0,576)

n̂_x = 0,048

الإجابة

n̂_x = 0,048

3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 20 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

محصّلة الحمل المثلثي

W = ½·12·5 = 30 kN

x̄ = 2L/3 = 3,333 m

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·3,333

R_B = 20 kN

R_A = 30 − 20 = 10 kN

الإجابة

R_B = 20 kN

4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 39,13 kN

محصّلة الحمل الموزّع

W = 4·3 = 12 kN, x̄ = (3 + 6)/2 = 4,5 m

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 65·1,5 + 12·4,5

R_B = 151,5/4 = 37,88 kN

R_A = 77 − 37,88 = 39,13 kN

الإجابة

R_A = 39,13 kN

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AC = 20,63 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 55·1 → C_y = 13,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 13,75 = 41,25 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −13,75/0,5547 = −24,79 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−24,79)·0,8321 = 20,63 kN

الإجابة

F_AC = 20,63 kN (شدّ)

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 67,92 kN (T), BC: 80,83 kN (T), CD: 80,83 kN (T), DE: 80,42 kN (T), FG: 67,92 kN (C), GH: 80,42 kN (C), AF: 66,15 kN (C), HE: 100,5 kN (C), BF: 9,688 kN (T), CG: 0, DH: 40,31 kN (T), BG: 16,15 kN (C), DG: 0,5208 kN (C)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG

7.الإطارات والآلات

الإجابة: T = 10,04 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣF_x = 0 وΣF_y = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

الإطار كاملًا: العزوم حول A

B_y = 15·1,875/5 = 5,625 kN

الساق BC: العزوم حول C

5,625·2,5 = T·1,4

T = 10,04 kN

الإجابة

T = 10,04 kN

8.الإطارات والآلات

الإجابة: A = 42,01 kN

قوة الشد في الكابل

T = (6 + 2/2)/0,1644 = 42,58 kN

المركّبتان عند A

A_x = T·cos β = 42 kN

A_y = 6 + 2 − T·sin β = 1 kN

المقدار

A = √(42² + 1²) = 42,01 kN

الإجابة

A = 42,01 kN

9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = −5 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. الازدواج المؤثّر يجعل مخطط عزم الانحناء يقفز بمقدار الازدواج.

ردود أفعال الركائز

العزوم حول A، عكس عقارب الساعة موجب: R_B·L − M₀ = 0. الاتزان الرأسي: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 10/8 = 1,25 kN (إلى الأعلى)

R_A = −R_B = −1,25 kN (إلى الأسفل)

اقطع يسار الازدواج مباشرةً

يحتوي الجزء الأيسر على R_A فقط.

M_x = R_A·a = −1,25·4 = −5 kN·m

الإجابة

M_x = −5 kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 9 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN، تؤثّر عند x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·2·1

R_B = 16/4 = 4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 4 = 12 kN

انعدام القص

تبدأ قوة القص عند R_A، وتبقى ثابتة على أي جزء غير محمَّل، وتتناقص بميل w داخل الحمل.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 12/8 = 1,5 m

أقصى عزم

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 12·1,5 − 8·1,5²/2 = 9 kN·m

الإجابة

M_max = 9 kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 32,41 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (18000·75 − 1257·45)/(18000 − 1257) = 77,25 mm

اللوح الكامل حول ȳ

120·150³/12 + 18000·−2,252² = 33,84 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−32,25² = 1,433 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 32,41 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 32,41 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأعلى = 12,01 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 120·25 = 3000 mm², y_f = 200 + 25/2 = 212,5 mm

الجذع: A_w = 14·200 = 2800 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·212,5 + 2800·100)/5800 = 158,2 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 120·25³/12 + 3000·(212,5 − 158,2)² = 9,005 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 14·200³/12 + 2800·(100 − 158,2)² = 1,881 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,005 × 10⁶ + 1,881 × 10⁷ = 2,782 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة العلوية h − ȳ عن المحور.

y = 225 − 158,2 = 66,81 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·66,81/2,782 × 10⁷ = 12,01 MPa

الإجابة

σ_الأعلى = 12,01 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics