مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 20, 39, 41, 12, 21, 23.

n = 6

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 20. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 58.

μ = 50σ = 20x = 58

z =

3.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,1, 0,25, 0,3

Var(X) =

4.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €10 للمشاركة. تربح €40 باحتمال 0,25 و€200 باحتمال 0,01؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €10€40: p = 0,25€200: p = 0,01

E(G) = €

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

أوزان الأكياس موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. ما النسبة التي تقع بين 248,75 و 259 g؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 250σ = 5x₁ = 248,75x₂ = 259

P =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أطوال الرجال البالغين توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 25% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 178 cmσ = 7 cm25%

x = cm

7.فترات الثقةمتوسطة

يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 30 هاتفًا، المتوسط 70,5 h، الانحراف المعياري المعلوم 11 h. الطراز 2: 60 هاتفًا، المتوسط 77 h، الانحراف المعياري المعلوم 16 h. أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 99% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 70,5 hσ₁ = 11 hn₂ = 60x̄₂ = 77 hσ₂ = 16 h99%

E = h

8.فترات الثقةصعبة

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 10 قطعة، متوسط المحصول 15,5 kg، الانحراف المعياري 2,5 kg. مجموعة القطع 2: 12 قطعة، المتوسط 12,5 kg، الانحراف المعياري 10 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 90% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 10x̄₁ = 15,5s₁ = 2,5n₂ = 12x̄₂ = 12,5s₂ = 1090%t(20) = 1,725

E = kg

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 81 طالبًا متوسط درجاتها 117,6 وانحرافها المعياري 12. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 117,6s = 12n = 81

t =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 100 مقابل H₁: μ < 100 عند α = 0.05 بعينة من 100؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 25. في الواقع المتوسط 94. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.

μ₀ = 100μ = 94σ = 25n = 100α = 0,05

1 − β = %

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 5Σx = 25Σy = 223Σx² = 135Σy² = 10135Σxy = 1158

r =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 48؟

n = 6ŷ = 48

x =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 11,49

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 156/6 = 26

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−6)² + 13² + 15² + (−14)² + (−5)² + (−3)² = 660

الانحراف المعياري

s = √(660/5) = 11,49

الإجابة

s = 11,49

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 0,4

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (58 − 50)/20 = 0,4

الإجابة

z = 0,4

3.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 155

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 10·0,35 + 20·0,1 + 30·0,25 + 40·0,3 = 25

متوسط المربعات

E(X²) = 100·0,35 + 400·0,1 + 900·0,25 + 1600·0,3 = 780

التباين

Var(X) = 780 − 25² = 155

الإجابة

Var(X) = 155

4.الاحتمال

الإجابة: E(G) = 2 €

النتائج الصافية

G: 30 (p = 0,25), 190 (p = 0,01), −10 (p = 0,74)

القيمة المتوقعة

E(G) = 30·0,25 + 190·0,01 − 10·0,74 = 2 €

الإجابة

E(G) = 2 €

القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,5628

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (248,75 − 250)/5 = −0,25

z₂ = (259 − 250)/5 = 1,8

المساحة بين القيمتين

P = Φ(1,8) − Φ(−0,25) = 0,9641 − 0,4013 = 0,5628

الإجابة

P = 0,5628

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 173,3 cm

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,25

z من الجدول

z ≈ −0,67

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 178 − 0,67·7 = 173,3 cm

الإجابة

x = 173,3 cm

7.فترات الثقة

الإجابة: E = 7,421 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

التقدير النقطي

x̄₁ − x̄₂ = 70,5 − 77 = −6,5

الخطأ المعياري

SE = √(11²/30 + 16²/60) = 2,881

هامش الخطأ

E = 2,576·2,881 = 7,421

الإجابة

E = 7,421 h

الفترة تحتوي على 0، لذا لا تُظهر البيانات فرقًا دالًّا إحصائيًا.

8.فترات الثقة

الإجابة: E = 5,616 kg

الانحراف المعياري المجمَّع

s_p² = (9·2,5² + 11·10²)/20 = 57,81

s_p = 7,603

هامش الخطأ

E = 1,725·7,603·√(1/10 + 1/12) = 5,616

الإجابة

E = 5,616 kg

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −1,8

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 12/√81 = 12/9 = 1,333

إحصائية الاختبار

t = (117,6 − 120)/1,333 = −1,8

الإجابة

t = −1,8

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: 1 − β = 77,49 %

قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

متوسط العينة الحرج

SE = 25/√100 = 2,5

x̄_c = 100 − 1,645·2,5 = 95,89

z وفق المتوسط الحقيقي

z = (95,89 − 94)/2,5 = 0,755

القدرة

القوة = P(Z < 0.755) = 77.49%

1 − β = 77,49%

الإجابة

1 − β = 77,49%

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9886

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 1158 − 25·223/5 = 43

S_xx = 135 − 25²/5 = 10

S_yy = 10135 − 223²/5 = 189,2

معامل الارتباط

r = 43/√(10·189,2) = 0,9886

الإجابة

r = 0,9886

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 9,946

المتوسطات

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 242/6 = 40,33

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 136

خط الانحدار

b = 136/70 = 1,943

a = 40,33 − 1,943·6 = 28,68

ŷ = 28,68 + 1,943·x

حلّ لإيجاد x

x = (48 − 28,68)/1,943 = 9,946

الإجابة

x = 9,946

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1