الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
2مسائل تدريبية
1.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 12, 13, 58, 19, 38.
n = 5
s =
2.الإحصاء الوصفيصعبة
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 5. ما نسبة P القيم الأقل من 54؟
μ = 60σ = 5x = 54
P =
3.الاحتمالمتوسطة
للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,25, 0,25, 0,25
σ =
4.الاحتمالصعبة
يحتوي اختبار على 7 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,25، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 3 إجابات صحيحة بالضبط؟
n = 7p = 0,25k = 3
P =
5.التوزيع الطبيعيمتوسطة
أوزان الأكياس موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. ما النسبة التي تقع بين 246 و 255,25 g؟ أعطِ P كعدد عشري.
μ = 250σ = 5x1 = 246x2 = 255,25
P =
6.التوزيع الطبيعيصعبة
تتوزع أوزان الأكياس توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأعلى 95% على يمينه. أوجد حد القطع x.
μ = 250 gσ = 5 g95%
x = g
7.فترات الثقةمتوسطة
عينة من 6 مفردة متوسطها 82,5 وانحرافها المعياري s = 13,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 99% للمتوسط.
n = 6x̄ = 82,5s = 13,599%t(5) = 4,032
الحد الأعلى =
8.فترات الثقةصعبة
الانحراف المعياري للمجتمع 15. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للمتوسط 5 على الأكثر؟
σ = 15E = 595%
n =
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 36 طالبًا متوسط درجاتها 115,3 وانحرافها المعياري 20. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 115,3s = 20n = 36
t =
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
ما حجم العينة اللازم كي يكون هامش الخطأ لفترة الثقة 90% للمتوسط 1 على الأكثر؟ الانحراف المعياري 5. أوجد أصغر حجم عينة n.
σ = 5E = 190%
n =
11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.
n = 5Σx = 15Σy = 242Σx² = 55Σy² = 12042Σxy = 783
r =
12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 5,5.
n = 6x = 5,5
ŷ =
3المحاليل
1.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 19,76
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 140/5 = 28
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−16)² + (−15)² + 30² + (−9)² + 10² = 1562
الانحراف المعياري
s = √(1562/4) = 19,76
الإجابة
s = 19,76
2.الإحصاء الوصفي
الإجابة: P = 0,1151
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = −1,2
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 0,1151
الإجابة
P = 0,1151
3.الاحتمال
الإجابة: σ = 1,118
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
المتوسط
μ = 0·0,25 + 1·0,25 + 2·0,25 + 3·0,25 = 1,5
متوسط المربعات
E(X²) = 0·0,25 + 1·0,25 + 4·0,25 + 9·0,25 = 3,5
التباين
Var(X) = 3,5 − 1,5² = 1,25
σ = √1,25 = 1,118
الإجابة
σ = 1,118
4.الاحتمال
الإجابة: P = 0,173
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صيغة ذي الحدين
P(X = 3) = 35·0,253·0,754 = 35·0,01563·0,3164 = 0,173
الإجابة
P = 0,173
5.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,6413
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
الدرجات المعيارية
z₁ = (246 − 250)/5 = −0,8
z₂ = (255,25 − 250)/5 = 1,05
المساحة بين القيمتين
P = Φ(1,05) − Φ(−0,8) = 0,8531 − 0,2119 = 0,6413
الإجابة
P = 0,6413
6.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 241,8 g
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على اليسار
Φ(z) = 0,05
z من الجدول
z ≈ −1,64
العودة إلى الوحدات الأصلية
x = 250 − 1,64·5 = 241,8 g
الإجابة
x = 241,8 g
7.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأعلى = 104,7
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
القيمة الحرجة
df = n − 1 = 5, t = 4,032
هامش الخطأ
E = 4,032·13,5/√6 = 22,22
الفترة
82,5 ± 22,22 → [60,28, 104,7]
الإجابة
الحد الأعلى = 104,7
8.فترات الثقة
الإجابة: n = 35
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = (1,96·15/5)² = 34,57
قرّب إلى الأعلى
حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.
n = 35
الإجابة
n = 35
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = −1,41
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333
إحصائية الاختبار
t = (115,3 − 120)/3,333 = −1,41
الإجابة
t = −1,41
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: n = 68
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
حُلّ لإيجاد n
n = (1,645·5/1)² = 67,65
قرّب إلى الأعلى
n = 68
الإجابة
n = 68
11.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = 0,9934
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المجاميع الممركَزة
Sxy = 783 − 15·242/5 = 57
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 12042 − 242²/5 = 329,2
معامل الارتباط
r = 57/√(10·329,2) = 0,9934
الإجابة
r = 0,9934
12.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: ŷ = 51,73
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 279/6 = 46,5
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 91,5
خط الانحدار
b = 91,5/17,5 = 5,229
a = 46,5 − 5,229·4,5 = 22,97
ŷ = 22,97 + 5,229·x
التنبؤ
ŷ = 22,97 + 5,229·5,5 = 51,73
الإجابة
ŷ = 51,73
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1