مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 50, 35, 58, 39, 15.

n = 5

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 20. ما نسبة P القيم الأكبر من 190؟

μ = 170σ = 20x = 190

P =

3.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,25, 0,2, 0,2

σ =

4.الاحتمالصعبة

يحتوي اختبار على 10 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,5، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 3 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 10p = 0,5k = 3

P =

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

X طبيعي بمتوسط 12 min وانحراف معياري 1,5 min؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 20 min وانحراف معياري 2 min. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 35,8 min. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 35,8 min

P =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أوزان الأكياس توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 75% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 250 gσ = 5 g75%

x = g

7.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 25 مفردة متوسطها 99 وانحرافها المعياري s = 5,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 99% للمتوسط.

n = 25x̄ = 99s = 5,599%t(24) = 2,797

الحد الأعلى =

8.فترات الثقةصعبة

لأقطار 16 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 5,5 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأدنى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 15، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 6,262 و 2,5% فوق 27,488.

n = 16s = 5,5 µmχ² = 6,262, 27,488

σ = µm

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

تُقارن طريقتا تدريس. المجموعة 1: 13 طالبًا، متوسط الدرجة 116,5، الانحراف المعياري 9,5. المجموعة 2: 9 طالبًا، متوسط الدرجة 120,6، الانحراف المعياري 9,5. افترض تساوي تبايني المجتمعين واستخدم اختبار t المجمَّع لعينتين. أوجد إحصائية الاختبار t للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (المجموعة 1 ناقص المجموعة 2).

n₁ = 13x̄₁ = 116,5s₁ = 9,5n₂ = 9x̄₂ = 120,6s₂ = 9,5

t =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

ما حجم العينة اللازم كي يكون هامش الخطأ لفترة الثقة 90% للمتوسط 2 على الأكثر؟ الانحراف المعياري 15. أوجد أصغر حجم عينة n.

σ = 15E = 290%

n =

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 6Σx = 42Σy = 389Σx² = 364Σy² = 26213Σxy = 2978

r =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (5,5, 56). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 6(5,5, 56)

e =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 16,38

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 197/5 = 39,4

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 10,6² + (−4,4)² + 18,6² + (−0,4)² + (−24,4)² = 1073

الانحراف المعياري

s = √(1073/4) = 16,38

الإجابة

s = 16,38

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,1587

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 1

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

الإجابة

P = 0,1587

3.الاحتمال

الإجابة: σ = 2,269

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,35 + 2·0,25 + 4·0,2 + 6·0,2 = 2,5

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,35 + 4·0,25 + 16·0,2 + 36·0,2 = 11,4

التباين

Var(X) = 11,4 − 2,5² = 5,15

σ = √5,15 = 2,269

الإجابة

σ = 2,269

4.الاحتمال

الإجابة: P = 0,1172

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صيغة ذي الحدين

P(X = 3) = 120·0,5³·0,5⁷ = 120·0,125·0,007813 = 0,1172

الإجابة

P = 0,1172

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,06426

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (35,8 − 32)/2,5 = 1,52

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(1,52) = 1 − 0,9357 = 0,06426

الإجابة

P = 0,06426

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 253,4 g

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,75

z من الجدول

z ≈ 0,67

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 250 + 0,67·5 = 253,4 g

الإجابة

x = 253,4 g

7.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 102,1

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 24, t = 2,797

هامش الخطأ

E = 2,797·5,5/√25 = 3,077

الفترة

99 ± 3,077 → [95,92, 102,1]

الإجابة

الحد الأعلى = 102,1

8.فترات الثقة

الإجابة: σ = 4,063 µm

فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.

مجموع المربعات

(n − 1)s² = 15·5,5² = 453,8

حدّا σ²

453,8/27,488 = 16,51

453,8/6,262 = 72,46

حدّ σ

σ = √16,51 = 4,063 µm

الإجابة

σ = 4,063 µm

فترة 95% لـ σ: [4,063, 8,512] µm.

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −0,9953

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

التباين المجمَّع

s_p² = (12·9,5² + 8·9,5²)/20 = 90,25

s_p = 9,5

الخطأ المعياري

SE = 9,5·√(1/13 + 1/9) = 4,119

إحصائية الاختبار

t = (116,5 − 120,6)/4,119 = −0,9953

الإجابة

t = −0,9953

مع df = 20، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,086؛ و|t| أصغر، لذا لا تُرفض H₀.

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 153

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

حُلّ لإيجاد n

n = (1,645·15/2)² = 152,2

قرّب إلى الأعلى

n = 153

الإجابة

n = 153

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9673

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 2978 − 42·389/6 = 255

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 26213 − 389²/6 = 992,8

معامل الارتباط

r = 255/√(70·992,8) = 0,9673

الإجابة

r = 0,9673

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = 3

المتوسطات

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 318/6 = 53

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 93

خط الانحدار

b = 93/17,5 = 5,314

a = 53 − 5,314·5,5 = 23,77

ŷ = 23,77 + 5,314·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 23,77 + 5,314·5,5 = 53

البُواقي

e = 56 − 53 = 3

الإجابة

e = 3

تقع النقطة فوق الخط.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1