مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 46, 18, 40, 58, 31, 49, 29.

n = 7

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 5. ما نسبة P القيم الأقل من 105؟

μ = 100σ = 5x = 105

P =

3.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,1, 0,15, 0,3, 0,1

Var(X) =

4.الاحتمالصعبة

يُختبر 8 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,1. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟

n = 8p = 0,1

P =

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

كتل الصناديق مستقلة وطبيعية بمتوسط 12 kg وانحراف معياري 0,8 kg. أوجد الاحتمال P بأن تتجاوز الكتلة الكلية لـ 8 منها 98,3 kg. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 8> 98,3 kg

P =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,02 mm وانحراف معياري 0,01 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,01 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

الثقب: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 10 مفردة متوسطها 37,5 وانحرافها المعياري s = 11. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 99% للمتوسط.

n = 10x̄ = 37,5s = 1199%t(9) = 3,25

الحد الأعلى =

8.فترات الثقةصعبة

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 11 قطعة، متوسط المحصول 75,5 kg، الانحراف المعياري 10 kg. مجموعة القطع 2: 6 قطعة، المتوسط 74 kg، الانحراف المعياري 3,5 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 11x̄₁ = 75,5s₁ = 10n₂ = 6x̄₂ = 74s₂ = 3,590%t(15) = 1,753

الحد الأدنى = kg

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 25 طالبًا متوسط درجاتها 502,9 وانحرافها المعياري 5. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 502,9s = 5n = 25

t =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 80 مقابل H₁: μ < 80 عند α = 0.05 بعينة من 100؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 20. في الواقع المتوسط 75.8. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.

μ₀ = 80μ = 75,8σ = 20n = 100α = 0,05

1 − β = %

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 6

r² =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 22.

n = 6x = 22

ŷ =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 13,63

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 271/7 = 38,71

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 7,286² + (−20,71)² + 1,286² + 19,29² + (−7,714)² + 10,29² + (−9,714)² = 1115

الانحراف المعياري

s = √(1115/6) = 13,63

الإجابة

s = 13,63

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,8413

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 1

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

الإجابة

P = 0,8413

3.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 2,11

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,35 + 1·0,1 + 2·0,15 + 3·0,3 + 4·0,1 = 1,7

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,1 + 4·0,15 + 9·0,3 + 16·0,1 = 5

التباين

Var(X) = 5 − 1,7² = 2,11

الإجابة

Var(X) = 2,11

4.الاحتمال

الإجابة: P = 0,8131

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صفر وعطل واحد

P(X = 0) = 0,9⁸ = 0,4305

P(X = 1) = 8·0,1·0,9⁷ = 0,3826

اجمعها

P = 0,4305 + 0,3826 = 0,8131

الإجابة

P = 0,8131

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,1539

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μ_T = 96 kg, σ_T = 0,8·√8 = 2,263 kg

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (98,3 − 96)/2,263 = 1,02

الاحتمال

P = 1 − Φ(1,02) = 0,1539

الإجابة

P = 0,1539

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9207

توزيع الفرق

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01414 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 0,02)/0,01414 = −1,41

الاحتمال

P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207

الإجابة

P = 0,9207

7.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 48,81

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 9, t = 3,25

هامش الخطأ

E = 3,25·11/√10 = 11,31

الفترة

37,5 ± 11,31 → [26,19, 48,81]

الإجابة

الحد الأعلى = 48,81

8.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = −5,983 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

الانحراف المعياري المجمَّع

s_p² = (10·10² + 5·3,5²)/15 = 70,75

s_p = 8,411

هامش الخطأ

E = 1,753·8,411·√(1/11 + 1/6) = 7,483

الفترة

1,5 ± 7,483 → [−5,983, 8,983]

الإجابة

الحد الأدنى = −5,983 kg

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 2,9

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

إحصائية الاختبار

t = (502,9 − 500)/1 = 2,9

الإجابة

t = 2,9

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: 1 − β = 67,54 %

قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

متوسط العينة الحرج

SE = 20/√100 = 2

x̄_c = 80 − 1,645·2 = 76,71

z وفق المتوسط الحقيقي

z = (76,71 − 75,8)/2 = 0,455

القدرة

القوة = P(Z < 0.455) = 67.54%

1 − β = 67,54%

الإجابة

1 − β = 67,54%

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9636

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 255/6 = 42,5

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 277

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1138

معامل التحديد

r² = 277²/(70·1138) = 0,9636

الإجابة

r² = 0,9636

نحو 96,36% من التباين في y يفسّره الخط.

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 53,5

المتوسطات

x̄ = 132/6 = 22

ȳ = 321/6 = 53,5

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 235

خط الانحدار

b = 235/70 = 3,357

a = 53,5 − 3,357·22 = −20,36

ŷ = −20,36 + 3,357·x

التنبؤ

ŷ = −20,36 + 3,357·22 = 53,5

الإجابة

ŷ = 53,5

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1