مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط
x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط
القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z
z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي
68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم
P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z
z = (x − μ)/σ
أقل من x
P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين
Φ(z2) − Φ(z1)
المئين
x = μ + z·σ

الطريقة

  1. حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
  2. ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
  3. للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
  4. للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة
x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة
n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

  1. اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
  2. أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
  3. هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
  4. الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%
ارفض H0 إذا |z| > 1,96
فترة الثقة
x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

  1. اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
  2. احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
  3. قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
  4. ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل
b = Sxy/Sxx
المقطع
a = ȳ − b·x̄
الارتباط
r = Sxy/√(SxxSyy)
البُواقي
e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة
20253035404550

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 53, 18, 29, 35, 26.

n = 5
s =
2.الإحصاء الوصفيصعبة
z −2−1012

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 20. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 100.

μ = 60σ = 20x = 100
z =
3.الاحتمالمتوسطة
n = 7k = 4N = ?

بكم طريقة N يمكن اختيار لجنة من 4 أشخاص من مجموعة من 7؟ الترتيب غير مهم.

n = 7k = 4
N =
4.الاحتمالصعبة
n = 9, p = 0,25: P(X ≤ 1) = ?k0123456789

يُختبر 9 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,25. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟

n = 9p = 0,25
P =
5.التوزيع الطبيعيمتوسطة
−3−2−10123zالمساحة المظللة بين −z وz = 0,2961

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,2961. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,2961
z =
6.التوزيع الطبيعيصعبة
0,04 mm0D − d?

أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,04 mm وانحراف معياري 0,02 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,02 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

الثقب: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
7.فترات الثقةمتوسطة
n = 8, sd​ = 6,90LUd̄ = 0,7E = ?99%

يُقاس ضغط الدم لـ 8 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها 0,7 وانحرافها المعياري 6,9. أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 99% لمتوسط الفروق.

n = 8d̄ = 0,7sd = 6,999%t(7) = 3,499
E = mmHg
8.فترات الثقةصعبة
σ = 39, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 595%

الانحراف المعياري للمجتمع 39. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للمتوسط 5 على الأكثر؟

σ = 39E = 595%
n =
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
t −1,99801,998

عينة من 64 طالبًا متوسط درجاتها 46,63 وانحرافها المعياري 15. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 46,63s = 15n = 64
t =
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 2,5α = 0,05βσ = 19, القوة 80%, n = ?

اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,05 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 2,5 وحدة بقوة 80%. الانحراف المعياري 19. أوجد أصغر حجم عينة n.

α = 0,05القوة = 80%δ = 2,5σ = 19zα = 1,645zβ = 0,842
n =
11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
xy18432153247027743085xy202530406080

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 5
r =
12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
xy12421831841451368xy24610152025ŷ = 19

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 19؟

n = 6ŷ = 19
x =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 13,14

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 161/5 = 32,2

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 20,8² + (−14,2)² + (−3,2)² + 2,8² + (−6,2)² = 690,8

الانحراف المعياري

s = √(690,8/4) = 13,14

الإجابة

s = 13,14
2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 2

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (100 − 60)/20 = 2

الإجابة

z = 2
3.الاحتمال

الإجابة: N = 35

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

التوافيق

C(7, 4) = (7·6·5·4)/(4·3·2·1) = 35

الإجابة

N = 35
4.الاحتمال

الإجابة: P = 0,3003

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صفر وعطل واحد

P(X = 0) = 0,759 = 0,07508
P(X = 1) = 9·0,25·0,758 = 0,2253

اجمعها

P = 0,07508 + 0,2253 = 0,3003

الإجابة

P = 0,3003
5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 0,38

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,2961)/2 = 0,6480

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,6480 داخل الجدول واقرأ z.

z = 0,38

الإجابة

z = 0,38
6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9207

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02828 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 0,04)/0,02828 = −1,41

الاحتمال

P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207

الإجابة

P = 0,9207
7.فترات الثقة

الإجابة: E = 8,536 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

القيمة الحرجة

df = 7, t = 3,499

هامش الخطأ

E = 3,499·6,9/√8 = 8,536

الإجابة

E = 8,536 mmHg
8.فترات الثقة

الإجابة: n = 234

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = (1,96·39/5)² = 233,7

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 234

الإجابة

n = 234
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −1,797

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875

إحصائية الاختبار

t = (46,63 − 50)/1,875 = −1,797

الإجابة

t = −1,797
t0,025; df = 63 = 1,998

|t| < 1.998، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 358

حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = ((1,645 + 0,842)·19/2,5)² = 357,3

قرّب إلى الأعلى

n = 358

الإجابة

n = 358
11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,986

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 120/5 = 24
ȳ = 325/5 = 65

مجاميع المربعات والضروب

Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 315
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1134

معامل الارتباط

r = 315/√(90·1134) = 0,986

الإجابة

r = 0,986
12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 2,38

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 95/6 = 15,83

مجاميع المربعات والضروب

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −49,5

خط الانحدار

b = −49,5/17,5 = −2,829
a = 15,83 − (−2,829)·3,5 = 25,73
ŷ = 25,73 − 2,829·x

حلّ لإيجاد x

x = (19 − 25,73)/(−2,829) = 2,38

الإجابة

x = 2,38

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1