الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
2مسائل تدريبية
1.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 58, 48, 57, 40, 54, 53, 36.
n = 7
s =
2.الإحصاء الوصفيصعبة
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 20. ما نسبة P القيم الأكبر من 60؟
μ = 100σ = 20x = 60
P =
3.الاحتمالمتوسطة
يُرمى حجر نرد منتظم 3 مرات. ما احتمال P الحصول على ستة واحدة على الأقل؟
n = 3
P =
4.الاحتمالصعبة
للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 10X + 20. أوجد الانحراف المعياري σY للمتغير Y.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3Y = 10X + 20
σY =
5.التوزيع الطبيعيمتوسطة
أزمنة التوصيل موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 32 min وانحراف معياري 6 min. ما النسبة التي تقع بين 20,3 و 42,8 min؟ أعطِ P كعدد عشري.
μ = 32σ = 6x1 = 20,3x2 = 42,8
P =
6.التوزيع الطبيعيصعبة
أعمار البطاريات موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 75% منها (المئين 75).
μ = 500σ = 40P = 75%
x = h
7.فترات الثقةمتوسطة
عينة من 6 مفردة متوسطها 75 وانحرافها المعياري s = 2,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 99% للمتوسط.
n = 6x̄ = 75s = 2,599%t(5) = 4,032
E =
8.فترات الثقةصعبة
لأقطار 30 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 7,1 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأعلى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 29، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 16,047 و 2,5% فوق 45,722.
n = 30s = 7,1 µmχ² = 16,047, 45,722
σ = µm
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 25 طالبًا متوسط درجاتها 52,1 وانحرافها المعياري 5. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 52,1s = 5n = 25
t =
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 500 مقابل H₁: μ < 500 عند α = 0.10 بعينة من 64؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 12. في الواقع المتوسط 497. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.
μ₀ = 500μ = 497σ = 12n = 64α = 0,10
1 − β = %
11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.
n = 5
r² =
12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 96؟
n = 5ŷ = 96
x =
3المحاليل
1.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 8,522
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 346/7 = 49,43
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = 8,571² + (−1,429)² + 7,571² + (−9,429)² + 4,571² + 3,571² + (−13,43)² = 435,7
الانحراف المعياري
s = √(435,7/6) = 8,522
الإجابة
s = 8,522
2.الإحصاء الوصفي
الإجابة: P = 0,9772
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = −2
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(−2) = 0,02275
P = 1 − 0,02275 = 0,9772
الإجابة
P = 0,9772
3.الاحتمال
الإجابة: P = 0,4213
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
الحدث المتمم
P(لا ستة) = (5/6)3 = 0,5787
P = 1 − 0,5787 = 0,4213
الإجابة
P = 0,4213
4.الاحتمال
الإجابة: σY = 8,047
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
تشتت X
μ = 0,95, Var(X) = 0,6475, σX = 0,8047
التغيير الخطي
σY = |10|·0,8047 = 8,047
الإجابة
σY = 8,047
المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 10·0,95 + 20 = 29,5.
5.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,9385
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
الدرجات المعيارية
z₁ = (20,3 − 32)/6 = −1,95
z₂ = (42,8 − 32)/6 = 1,8
المساحة بين القيمتين
P = Φ(1,8) − Φ(−1,95) = 0,9641 − 0,02559 = 0,9385
الإجابة
P = 0,9385
6.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 527 h
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
قيمة z للمئين
Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745
العودة إلى x
x = 500 + 0,6745·40 = 526,98 h
الإجابة
x = 526,98 h
7.فترات الثقة
الإجابة: E = 4,115
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
القيمة الحرجة
df = n − 1 = 5, t = 4,032
هامش الخطأ
E = 4,032·2,5/√6 = 4,115
الإجابة
E = 4,115
8.فترات الثقة
الإجابة: σ = 9,545 µm
فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.
مجموع المربعات
(n − 1)s² = 29·7,1² = 1462
حدّا σ²
1462/45,722 = 31,97
1462/16,047 = 91,1
حدّ σ
σ = √91,1 = 9,545 µm
الإجابة
σ = 9,545 µm
فترة 95% لـ σ: [5,655, 9,545] µm.
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = 2,1
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 5/√25 = 5/5 = 1
إحصائية الاختبار
t = (52,1 − 50)/1 = 2,1
الإجابة
t = 2,1
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: 1 − β = 76,36 %
قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
متوسط العينة الحرج
SE = 12/√64 = 1,5
x̄c = 500 − 1,282·1,5 = 498,1
z وفق المتوسط الحقيقي
z = (498,1 − 497)/1,5 = 0,718
القدرة
القوة = P(Z < 0.718) = 76.36%
1 − β = 76,36%
الإجابة
1 − β = 76,36%
11.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r² = 0,9576
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 248/5 = 49,6
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 279
Syy = Σ(y − ȳ)² = 903,2
معامل التحديد
r² = 279²/(90·903,2) = 0,9576
الإجابة
r² = 0,9576
نحو 95,76% من التباين في y يفسّره الخط.
12.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: x = 24,91
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 413/5 = 82,6
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 184
خط الانحدار
b = 184/40 = 4,6
a = 82,6 − 4,6·22 = −18,6
ŷ = −18,6 + 4,6·x
حلّ لإيجاد x
x = (96 − (−18,6))/4,6 = 24,91
الإجابة
x = 24,91
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1