مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 59, 16, 36, 33, 24, 25.

n = 6

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 12. ما نسبة P القيم الأكبر من 177,2؟

μ = 170σ = 12x = 177,2

P =

3.الاحتمالمتوسطة

بكم طريقة N يمكن اختيار لجنة من 5 أشخاص من مجموعة من 14؟ الترتيب غير مهم.

n = 14k = 5

N =

4.الاحتمالصعبة

يُختبر 6 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,1. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟

n = 6p = 0,1

P =

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

كتل الركاب مع أمتعتهم مستقلة وطبيعية بمتوسط 85 kg وانحراف معياري 12 kg. أوجد الاحتمال P بأن تتجاوز الكتلة الكلية لـ 8 منها 646,1 kg. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 8> 646,1 kg

P =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أطوال الرجال البالغين توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 5% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 178 cmσ = 7 cm5%

x = cm

7.فترات الثقةمتوسطة

فترة ثقة 95% لمتوسط، مبنية على 100 مشاهدة و σ معلومة، لها هامش خطأ 4,1. ما هامش الخطأ E₂ لفترة 90% مبنية على 25 مشاهدة؟

95%n₁ = 100E₁ = 4,190%n₂ = 25

E₂ =

8.فترات الثقةصعبة

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 8 قطعة، متوسط المحصول 11,5 kg، الانحراف المعياري 5,5 kg. مجموعة القطع 2: 8 قطعة، المتوسط 0 kg، الانحراف المعياري 6,5 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 95% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 11,5s₁ = 5,5n₂ = 8x̄₂ = 0s₂ = 6,595%t(14) = 2,145

E = kg

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

تُقارن طريقتا تدريس. المجموعة 1: 10 طالبًا، متوسط الدرجة 32، الانحراف المعياري 2. المجموعة 2: 6 طالبًا، متوسط الدرجة 40، الانحراف المعياري 11,5. افترض تساوي تبايني المجتمعين واستخدم اختبار t المجمَّع لعينتين. أوجد إحصائية الاختبار t للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (المجموعة 1 ناقص المجموعة 2).

n₁ = 10x̄₁ = 32s₁ = 2n₂ = 6x̄₂ = 40s₂ = 11,5

t =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

ما حجم العينة اللازم كي يكون هامش الخطأ لفترة الثقة 90% للمتوسط 1,5 على الأكثر؟ الانحراف المعياري 8. أوجد أصغر حجم عينة n.

σ = 8E = 1,590%

n =

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 5

r² =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (3,5, 18). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 6(3,5, 18)

e =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 14,93

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 193/6 = 32,17

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 26,83² + (−16,17)² + 3,833² + 0,8333² + (−8,167)² + (−7,167)² = 1115

الانحراف المعياري

s = √(1115/5) = 14,93

الإجابة

s = 14,93

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,2743

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 0,6

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

الإجابة

P = 0,2743

3.الاحتمال

الإجابة: N = 2002

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

التوافيق

C(14, 5) = (14·13·12·11·10)/(5·4·3·2·1) = 2002

الإجابة

N = 2002

4.الاحتمال

الإجابة: P = 0,8857

صفر وعطل واحد

P(X = 0) = 0,9⁶ = 0,5314

P(X = 1) = 6·0,1·0,9⁵ = 0,3543

اجمعها

P = 0,5314 + 0,3543 = 0,8857

الإجابة

P = 0,8857

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,8413

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μ_T = 680 kg, σ_T = 12·√8 = 33,94 kg

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (646,1 − 680)/33,94 = −1

الاحتمال

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

الإجابة

P = 0,8413

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 166,5 cm

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,05

z من الجدول

z ≈ −1,64

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 178 − 1,64·7 = 166,5 cm

الإجابة

x = 166,5 cm

7.فترات الثقة

الإجابة: E₂ = 6,882

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

نسبة الهامشين

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(100/25) = 1,679

الهامش الجديد

E₂ = 4,1·1,679 = 6,882

الإجابة

E₂ = 6,882

8.فترات الثقة

الإجابة: E = 6,457 kg

فترة لفرق: التقدير ± القيمة الحرجة × الخطأ المعياري. لمتوسطين مستقلين مع σ معلومة: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) و z. مع تباينين متساويين مجهولين: s_p المجمَّع و t بدرجات حرية n₁ + n₂ − 2. للبيانات المزدوجة، اعمل على الفروق: d̄ ± t·s_d/√n.

الانحراف المعياري المجمَّع

s_p² = (7·5,5² + 7·6,5²)/14 = 36,25

s_p = 6,021

هامش الخطأ

E = 2,145·6,021·√(1/8 + 1/8) = 6,457

الإجابة

E = 6,457 kg

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −2,195

اختبار الفرضيات: إحصائية الاختبار = (التقدير − القيمة وفق H₀)/(الخطأ المعياري وفق H₀). القيمة الاحتمالية (p-value) هي احتمال الحصول، بافتراض صحة H₀، على إحصائية متطرفة على الأقل بقدر الإحصائية المرصودة: المساحة في ذيل واحد لـ H₁ أحادية الطرف، وضعف مساحة الذيل لـ H₁ ثنائية الطرف. تُرفض H₀ عندما p ≤ α.

التباين المجمَّع

s_p² = (9·2² + 5·11,5²)/14 = 49,8

s_p = 7,057

الخطأ المعياري

SE = 7,057·√(1/10 + 1/6) = 3,644

إحصائية الاختبار

t = (32 − 40)/3,644 = −2,195

الإجابة

t = −2,195

مع df = 14، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,145؛ و|t| أكبر، لذا تُرفض H₀.

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 77

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

حُلّ لإيجاد n

n = (1,645·8/1,5)² = 76,97

قرّب إلى الأعلى

n = 77

الإجابة

n = 77

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9513

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 369/5 = 73,8

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 192

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 968,8

معامل التحديد

r² = 192²/(40·968,8) = 0,9513

الإجابة

r² = 0,9513

نحو 95,13% من التباين في y يفسّره الخط.

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = 1,667

المتوسطات

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 98/6 = 16,33

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −46

خط الانحدار

b = −46/17,5 = −2,629

a = 16,33 − (−2,629)·3,5 = 25,53

ŷ = 25,53 − 2,629·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 25,53 + (−2,629)·3,5 = 16,33

البُواقي

e = 18 − 16,33 = 1,667

الإجابة

e = 1,667

تقع النقطة فوق الخط.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1