مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 10, 27, 41, 10, 41, 49, 19.

n = 7

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 5. ما نسبة P القيم الأكبر من 94؟

μ = 100σ = 5x = 94

P =

3.الاحتمالمتوسطة

بكم طريقة N يمكن اختيار لجنة من 3 أشخاص من مجموعة من 11؟ الترتيب غير مهم.

n = 11k = 3

N =

4.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 0,5X + 10. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,35, 0,3, 0,05Y = 0,5X + 10

σ_Y =

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,9726. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,9726

z =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,05 mm وانحراف معياري 0,02 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,015 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

الثقب: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.فترات الثقةمتوسطة

فترة ثقة 99% لمتوسط، مبنية على 100 مشاهدة و σ معلومة، لها هامش خطأ 7,5. ما هامش الخطأ E₂ لفترة 90% من البيانات نفسها؟

99%n₁ = 100E₁ = 7,590%

E₂ =

8.فترات الثقةصعبة

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 15 قطعة، متوسط المحصول 20 kg، الانحراف المعياري 4,5 kg. مجموعة القطع 2: 7 قطعة، المتوسط 28,5 kg، الانحراف المعياري 4,5 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 15x̄₁ = 20s₁ = 4,5n₂ = 7x̄₂ = 28,5s₂ = 4,590%t(20) = 1,725

الحد الأدنى = kg

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يجري 16 موظفًا اختبار طباعة قبل دورة تدريبية وبعدها. لكل شخص يُسجَّل الفرق d = بعد − قبل (كلمة في الدقيقة). متوسط الفروق 6,44 والانحراف المعياري للفروق 11,7. أوجد إحصائية الاختبار المزدوج t للفرضية H₀: μ_d = 0.

n = 16d̄ = 6,44s_d = 11,7

t =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,05 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 3 وحدة بقوة 90%. الانحراف المعياري 27. أوجد أصغر حجم عينة n.

α = 0,05القوة = 90%δ = 3σ = 27z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 6Σx = 42Σy = 143Σx² = 364Σy² = 4063Σxy = 1214

r =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 1,5.

n = 5x = 1,5

ŷ =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 15,86

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 197/7 = 28,14

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−18,14)² + (−1,143)² + 12,86² + (−18,14)² + 12,86² + 20,86² + (−9,143)² = 1509

الانحراف المعياري

s = √(1509/6) = 15,86

الإجابة

s = 15,86

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,8849

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −1,2

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

الإجابة

P = 0,8849

3.الاحتمال

الإجابة: N = 165

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

التوافيق

C(11, 3) = (11·10·9)/(3·2·1) = 165

الإجابة

N = 165

4.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 0,4444

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

تشتت X

μ = 1,1, Var(X) = 0,79, σ_X = 0,8888

التغيير الخطي

σ_Y = |0,5|·0,8888 = 0,4444

الإجابة

σ_Y = 0,4444

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 0,5·1,1 + 10 = 10,55.

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = −1,92

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,9726 = 0,0274

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,0274 داخل الجدول واقرأ z.

z = −1,92

الإجابة

z = −1,92

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9772

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,025 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 0,05)/0,025 = −2

الاحتمال

P = 1 − Φ(−2) = 0,9772

الإجابة

P = 0,9772

7.فترات الثقة

الإجابة: E₂ = 4,789

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

نسبة الهامشين

E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(100/100) = 0,6386

الهامش الجديد

E₂ = 7,5·0,6386 = 4,789

الإجابة

E₂ = 4,789

8.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = −12,05 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

الانحراف المعياري المجمَّع

s_p² = (14·4,5² + 6·4,5²)/20 = 20,25

s_p = 4,5

هامش الخطأ

E = 1,725·4,5·√(1/15 + 1/7) = 3,553

الفترة

−8,5 ± 3,553 → [−12,05, −4,947]

الإجابة

الحد الأدنى = −12,05 kg

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 2,202

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

الخطأ المعياري لمتوسط الفروق

SE = 11,7/√16 = 2,925

إحصائية الاختبار

t = 6,44/2,925 = 2,202

الإجابة

t = 2,202

مع df = 15، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,131؛ و|t| أكبر، لذا تُرفض H₀.

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 694

حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = ((1,645 + 1,282)·27/3)² = 694

قرّب إلى الأعلى

n = 694

الإجابة

n = 694

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9949

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 1214 − 42·143/6 = 213

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 4063 − 143²/6 = 654,8

معامل الارتباط

r = 213/√(70·654,8) = 0,9949

الإجابة

r = 0,9949

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 51,4

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 305/5 = 61

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64

خط الانحدار

b = 64/10 = 6,4

a = 61 − 6,4·3 = 41,8

ŷ = 41,8 + 6,4·x

التنبؤ

ŷ = 41,8 + 6,4·1,5 = 51,4

الإجابة

ŷ = 51,4

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1