الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
2مسائل تدريبية
1.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 18, 49, 49, 58, 27, 12, 52.
n = 7
s =
2.الإحصاء الوصفيصعبة
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 12. ما نسبة P القيم الأكبر من 40,4؟
μ = 50σ = 12x = 40,4
P =
3.الاحتمالمتوسطة
للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,05, 0,15, 0,3, 0,15
Var(X) =
4.الاحتمالصعبة
يُختبر 9 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,5. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟
n = 9p = 0,5
P =
5.التوزيع الطبيعيمتوسطة
أوزان الأكياس موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. ما النسبة التي تقع بين 246,25 و 252,5 g؟ أعطِ P كعدد عشري.
μ = 250σ = 5x1 = 246,25x2 = 252,5
P =
6.التوزيع الطبيعيصعبة
أزمنة التوصيل موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 32 min وانحراف معياري 6 min. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 25% منها (المئين 25).
μ = 32σ = 6P = 25%
x = min
7.فترات الثقةمتوسطة
يُقاس ضغط الدم لـ 15 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها 4,4 وانحرافها المعياري 6,2. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 99% لمتوسط الفروق.
n = 15d̄ = 4,4sd = 6,299%t(14) = 2,977
الحد الأعلى = mmHg
8.فترات الثقةصعبة
تشير دراسة استطلاعية إلى أن نحو 0,7 من المنتجات معيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للنسبة 0,03 على الأكثر؟
p ≈ 0,7E = 0,0395%
n =
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 100 طالبًا متوسط درجاتها 496,9 وانحرافها المعياري 12. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 496,9s = 12n = 100
t =
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
عينة من 25 قياسًا متوسطها 57,2. الانحراف المعياري للمجتمع 20. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 95% للمتوسط.
x̄ = 57,2σ = 20n = 2595%
U =
11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.
n = 6
r² =
12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (8, 50). أوجد باقيها e = y − ŷ.
n = 5(8, 50)
e =
3المحاليل
1.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 18,42
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 265/7 = 37,86
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−19,86)² + 11,14² + 11,14² + 20,14² + (−10,86)² + (−25,86)² + 14,14² = 2035
الانحراف المعياري
s = √(2035/6) = 18,42
الإجابة
s = 18,42
2.الإحصاء الوصفي
الإجابة: P = 0,7881
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = −0,8
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 1 − 0,2119 = 0,7881
الإجابة
P = 0,7881
3.الاحتمال
الإجابة: Var(X) = 2,327
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
المتوسط
μ = 0·0,35 + 1·0,05 + 2·0,15 + 3·0,3 + 4·0,15 = 1,85
متوسط المربعات
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,05 + 4·0,15 + 9·0,3 + 16·0,15 = 5,75
التباين
Var(X) = 5,75 − 1,85² = 2,327
الإجابة
Var(X) = 2,327
4.الاحتمال
الإجابة: P = 0,01953
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صفر وعطل واحد
P(X = 0) = 0,59 = 0,001953
P(X = 1) = 9·0,5·0,58 = 0,01758
اجمعها
P = 0,001953 + 0,01758 = 0,01953
الإجابة
P = 0,01953
5.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,4648
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
الدرجات المعيارية
z₁ = (246,25 − 250)/5 = −0,75
z₂ = (252,5 − 250)/5 = 0,5
المساحة بين القيمتين
P = Φ(0,5) − Φ(−0,75) = 0,6915 − 0,2266 = 0,4648
الإجابة
P = 0,4648
6.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 27,95 min
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
قيمة z للمئين
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
العودة إلى x
x = 32 + −0,6745·6 = 27,95 min
الإجابة
x = 27,95 min
7.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأعلى = 9,166 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
القيمة الحرجة
df = 14, t = 2,977
هامش الخطأ
E = 2,977·6,2/√15 = 4,766
الفترة
4,4 ± 4,766 → [−0,3657, 9,166]
الإجابة
الحد الأعلى = 9,166 mmHg
8.فترات الثقة
الإجابة: n = 897
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
حُلّ لإيجاد n
n = 1,96²·0,7·0,3/0,03² = 896,4
قرّب إلى الأعلى
n = 897
الإجابة
n = 897
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = −2,583
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2
إحصائية الاختبار
t = (496,9 − 500)/1,2 = −2,583
الإجابة
t = −2,583
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: U = 65,04
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
هامش الخطأ
E = 1,96·20/√25 = 7,84
حد الفترة
U = 57,2 + 7,84 = 65,04
الإجابة
U = 65,04
11.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r² = 0,9923
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 147/6 = 24,5
ȳ = 569/6 = 94,83
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 709,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 3221
معامل التحديد
r² = 709,5²/(157,5·3221) = 0,9923
الإجابة
r² = 0,9923
نحو 99,23% من التباين في y يفسّره الخط.
12.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: e = −4,15
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 253/5 = 50,6
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 142
خط الانحدار
b = 142/40 = 3,55
a = 50,6 − 3,55·7 = 25,75
ŷ = 25,75 + 3,55·x
القيمة المتنبَّأ بها
ŷ = 25,75 + 3,55·8 = 54,15
البُواقي
e = 50 − 54,15 = −4,15
الإجابة
e = −4,15
تقع النقطة تحت الخط.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1