مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 40, 54, 58, 56, 14, 54, 35.

n = 7

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 25. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 450.

μ = 500σ = 25x = 450

z =

3.الاحتمالمتوسطة

يحتوي كيس على 7 كرات حمراء و5 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟

7 / 5

P =

4.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 0,5X + 10. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,05, 0,35, 0,35, 0,25Y = 0,5X + 10

σ_Y =

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

درجات الامتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. ما النسبة التي تقع بين 49,5 و 70 درجة؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 65σ = 10x₁ = 49,5x₂ = 70

P =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

أوزان الأكياس موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 10% منها (المئين 10).

μ = 250σ = 5P = 10%

x = g

7.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 30 مفردة متوسطها 85,5 وانحرافها المعياري s = 5,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 99% للمتوسط.

n = 30x̄ = 85,5s = 5,599%t(29) = 2,756

الحد الأدنى =

8.فترات الثقةصعبة

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 16 قطعة، متوسط المحصول 40 kg، الانحراف المعياري 8,5 kg. مجموعة القطع 2: 5 قطعة، المتوسط 51,5 kg، الانحراف المعياري 5 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 95% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 16x̄₁ = 40s₁ = 8,5n₂ = 5x̄₂ = 51,5s₂ = 595%t(19) = 2,093

الحد الأعلى = kg

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

تُقارن طريقتا تدريس. المجموعة 1: 12 طالبًا، متوسط الدرجة 87، الانحراف المعياري 11,5. المجموعة 2: 5 طالبًا، متوسط الدرجة 95,1، الانحراف المعياري 4,5. افترض تساوي تبايني المجتمعين واستخدم اختبار t المجمَّع لعينتين. أوجد إحصائية الاختبار t للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (المجموعة 1 ناقص المجموعة 2).

n₁ = 12x̄₁ = 87s₁ = 11,5n₂ = 5x̄₂ = 95,1s₂ = 4,5

t =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 100 مقابل H₁: μ > 100 عند α = 0,10 بعينة من 25؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 2,5. في الواقع المتوسط 101,55. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.

μ₀ = 100μ = 101,55σ = 2,5n = 25α = 0,10

1 − β = %

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 5Σx = 100Σy = 277Σx² = 2090Σy² = 16275Σxy = 5825

r =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 90؟

n = 5ŷ = 90

x =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 16

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 311/7 = 44,43

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−4,429)² + 9,571² + 13,57² + 11,57² + (−30,43)² + 9,571² + (−9,429)² = 1536

الانحراف المعياري

s = √(1536/6) = 16

الإجابة

s = 16

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = −2

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (450 − 500)/25 = −2

الإجابة

z = −2

3.الاحتمال

الإجابة: P = 0,3182

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

السحبة الأولى والثانية

P = 7/12 · 6/11 = 42/132 = 0,3182

الإجابة

P = 0,3182

4.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 4,359

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

تشتت X

μ = 28, Var(X) = 76, σ_X = 8,718

التغيير الخطي

σ_Y = |0,5|·8,718 = 4,359

الإجابة

σ_Y = 4,359

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 0,5·28 + 10 = 24.

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,6309

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (49,5 − 65)/10 = −1,55

z₂ = (70 − 65)/10 = 0,5

المساحة بين القيمتين

P = Φ(0,5) − Φ(−1,55) = 0,6915 − 0,06057 = 0,6309

الإجابة

P = 0,6309

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 243,6 g

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

العودة إلى x

x = 250 + −1,282·5 = 243,59 g

الإجابة

x = 243,59 g

7.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 82,73

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 29, t = 2,756

هامش الخطأ

E = 2,756·5,5/√30 = 2,767

الفترة

85,5 ± 2,767 → [82,73, 88,27]

الإجابة

الحد الأدنى = 82,73

8.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = −3,036 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

الانحراف المعياري المجمَّع

s_p² = (15·8,5² + 4·5²)/19 = 62,3

s_p = 7,893

هامش الخطأ

E = 2,093·7,893·√(1/16 + 1/5) = 8,464

الفترة

−11,5 ± 8,464 → [−19,96, −3,036]

الإجابة

الحد الأعلى = −3,036 kg

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −1,504

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

التباين المجمَّع

s_p² = (11·11,5² + 4·4,5²)/15 = 102,4

s_p = 10,12

الخطأ المعياري

SE = 10,12·√(1/12 + 1/5) = 5,386

إحصائية الاختبار

t = (87 − 95,1)/5,386 = −1,504

الإجابة

t = −1,504

مع df = 15، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,131؛ و|t| أصغر، لذا لا تُرفض H₀.

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: 1 − β = 96,55 %

قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

متوسط العينة الحرج

SE = 2,5/√25 = 0,5

x̄_c = 100 + 1,282·0,5 = 100,6

z وفق المتوسط الحقيقي

z = (100,6 − 101,55)/0,5 = −1,818

القدرة

القوة = P(Z > −1,818) = 96,55%

1 − β = 96,55%

الإجابة

1 − β = 96,55%

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9855

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 5825 − 100·277/5 = 285

S_xx = 2090 − 100²/5 = 90

S_yy = 16275 − 277²/5 = 929,2

معامل الارتباط

r = 285/√(90·929,2) = 0,9855

الإجابة

r = 0,9855

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 8,008

المتوسطات

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 420/5 = 84

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 238

خط الانحدار

b = 238/40 = 5,95

a = 84 − 5,95·7 = 42,35

ŷ = 42,35 + 5,95·x

حلّ لإيجاد x

x = (90 − 42,35)/5,95 = 8,008

الإجابة

x = 8,008

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1