الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
2مسائل تدريبية
1.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 21, 46, 45, 27, 19.
n = 5
s =
2.الإحصاء الوصفيصعبة
درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 10. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 82,5.
μ = 70σ = 10x = 82,5
z =
3.الاحتمالمتوسطة
للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,25, 0,35, 0,05
Var(X) =
4.الاحتمالصعبة
تكلفة لعبة €2 للمشاركة. تربح €10 باحتمال 0,2 و€20 باحتمال 0,01؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.
مبلغ المشاركة = €2€10: p = 0,2€20: p = 0,01
E(G) = €
5.التوزيع الطبيعيمتوسطة
اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,9342. أوجد z بمنزلتين عشريتين.
A = 0,9342
z =
6.التوزيع الطبيعيصعبة
درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 90% منها (المئين 90).
μ = 100σ = 15P = 90%
x = درجة
7.فترات الثقةمتوسطة
عينة من 30 مفردة متوسطها 109 وانحرافها المعياري s = 3,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 95% للمتوسط.
n = 30x̄ = 109s = 3,595%t(29) = 2,045
الحد الأعلى =
8.فترات الثقةصعبة
الانحراف المعياري للمجتمع 33. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 2 على الأكثر؟
σ = 33E = 290%
n =
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
تُقارن طريقتا تدريس. المجموعة 1: 5 طالبًا، متوسط الدرجة 38، الانحراف المعياري 11. المجموعة 2: 7 طالبًا، متوسط الدرجة 20,2، الانحراف المعياري 9,5. افترض تساوي تبايني المجتمعين واستخدم اختبار t المجمَّع لعينتين. أوجد إحصائية الاختبار t للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (المجموعة 1 ناقص المجموعة 2).
n₁ = 5x̄₁ = 38s₁ = 11n₂ = 7x̄₂ = 20,2s₂ = 9,5
t =
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
عينة من 49 قياسًا متوسطها 118,1. الانحراف المعياري للمجتمع 10. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 95% للمتوسط.
x̄ = 118,1σ = 10n = 4995%
L =
11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.
n = 5
r =
12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (22, 107). أوجد باقيها e = y − ŷ.
n = 6(22, 107)
e =
3المحاليل
1.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 13,03
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 158/5 = 31,6
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−10,6)² + 14,4² + 13,4² + (−4,6)² + (−12,6)² = 679,2
الانحراف المعياري
s = √(679,2/4) = 13,03
الإجابة
s = 13,03
2.الإحصاء الوصفي
الإجابة: z = 1,25
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (82,5 − 70)/10 = 1,25
الإجابة
z = 1,25
3.الاحتمال
الإجابة: Var(X) = 3,56
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
المتوسط
μ = 0·0,35 + 2·0,25 + 4·0,35 + 6·0,05 = 2,2
متوسط المربعات
E(X²) = 0·0,35 + 4·0,25 + 16·0,35 + 36·0,05 = 8,4
التباين
Var(X) = 8,4 − 2,2² = 3,56
الإجابة
Var(X) = 3,56
4.الاحتمال
الإجابة: E(G) = 0,2 €
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
النتائج الصافية
G: 8 (p = 0,2), 18 (p = 0,01), −2 (p = 0,79)
القيمة المتوقعة
E(G) = 8·0,2 + 18·0,01 − 2·0,79 = 0,2 €
الإجابة
E(G) = 0,2 €
القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.
5.التوزيع الطبيعي
الإجابة: z = 1,84
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على يسار z
Φ(z) = (1 + 0,9342)/2 = 0,9671
اقرأ جدول z بالعكس
ابحث عن 0,9671 داخل الجدول واقرأ z.
z = 1,84
الإجابة
z = 1,84
6.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 119,2 درجة
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
قيمة z للمئين
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
العودة إلى x
x = 100 + 1,282·15 = 119,22 درجة
الإجابة
x = 119,22 درجة
7.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأعلى = 110,3
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
القيمة الحرجة
df = n − 1 = 29, t = 2,045
هامش الخطأ
E = 2,045·3,5/√30 = 1,307
الفترة
109 ± 1,307 → [107,7, 110,3]
الإجابة
الحد الأعلى = 110,3
8.فترات الثقة
الإجابة: n = 737
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = (1,645·33/2)² = 736,7
قرّب إلى الأعلى
حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.
n = 737
الإجابة
n = 737
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = 3,002
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
التباين المجمَّع
sp² = (4·11² + 6·9,5²)/10 = 102,5
sp = 10,13
الخطأ المعياري
SE = 10,13·√(1/5 + 1/7) = 5,93
إحصائية الاختبار
t = (38 − 20,2)/5,93 = 3,002
الإجابة
t = 3,002
مع df = 10، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,228؛ و|t| أكبر، لذا تُرفض H₀.
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: L = 115,3
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
هامش الخطأ
E = 1,96·10/√49 = 2,8
حد الفترة
L = 118,1 − 2,8 = 115,3
الإجابة
L = 115,3
11.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = 0,9216
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 230/5 = 46
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 231
Syy = Σ(y − ȳ)² = 698
معامل الارتباط
r = 231/√(90·698) = 0,9216
الإجابة
r = 0,9216
12.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: e = 3,667
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 620/6 = 103,3
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 398
خط الانحدار
b = 398/70 = 5,686
a = 103,3 − 5,686·22 = −21,75
ŷ = −21,75 + 5,686·x
القيمة المتنبَّأ بها
ŷ = −21,75 + 5,686·22 = 103,3
البُواقي
e = 107 − 103,3 = 3,667
الإجابة
e = 3,667
تقع النقطة فوق الخط.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1