مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 48, 30, 26, 13, 32, 47.

n = 6

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 40. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 420.

μ = 500σ = 40x = 420

z =

3.الاحتمالمتوسطة

يحتوي كيس على 7 كرات حمراء و8 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟

7 / 8

P =

4.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 10X + 5. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,15, 0,35, 0,35, 0,15Y = 10X + 5

σ_Y =

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,4647. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,4647

z =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 5% منها (المئين 5).

μ = 100σ = 15P = 5%

x = درجة

7.فترات الثقةمتوسطة

يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 80 هاتفًا، المتوسط 142 h، الانحراف المعياري المعلوم 15 h. الطراز 2: 100 هاتفًا، المتوسط 138,5 h، الانحراف المعياري المعلوم 12 h. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 95% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 142 hσ₁ = 15 hn₂ = 100x̄₂ = 138,5 hσ₂ = 12 h95%

الحد الأدنى = h

8.فترات الثقةصعبة

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 10 قطعة، متوسط المحصول 98,5 kg، الانحراف المعياري 3 kg. مجموعة القطع 2: 7 قطعة، المتوسط 90,5 kg، الانحراف المعياري 1 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 90% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 10x̄₁ = 98,5s₁ = 3n₂ = 7x̄₂ = 90,5s₂ = 190%t(15) = 1,753

E = kg

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 100 طالبًا متوسط درجاتها 197,3 وانحرافها المعياري 15. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 197,3s = 15n = 100

t =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 200 مقابل H₁: μ > 200 عند α = 0,05 بعينة من 64؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 24. في الواقع المتوسط 204,5. أوجد احتمال الخطأ من النوع الثاني β بالنسبة المئوية.

μ₀ = 200μ = 204,5σ = 24n = 64α = 0,05

β = %

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 6

r =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (11, 19). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 6(11, 19)

e =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 13,26

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 196/6 = 32,67

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 15,33² + (−2,667)² + (−6,667)² + (−19,67)² + (−0,6667)² + 14,33² = 879,3

الانحراف المعياري

s = √(879,3/5) = 13,26

الإجابة

s = 13,26

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = −2

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (420 − 500)/40 = −2

الإجابة

z = −2

3.الاحتمال

الإجابة: P = 0,2

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

السحبة الأولى والثانية

P = 7/15 · 6/14 = 42/210 = 0,2

الإجابة

P = 0,2

4.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 9,22

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

تشتت X

μ = 1,5, Var(X) = 0,85, σ_X = 0,922

التغيير الخطي

σ_Y = |10|·0,922 = 9,22

الإجابة

σ_Y = 9,22

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 10·1,5 + 5 = 20.

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 0,62

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,4647)/2 = 0,7324

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,7324 داخل الجدول واقرأ z.

z = 0,62

الإجابة

z = 0,62

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 75,33 درجة

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

العودة إلى x

x = 100 + −1,645·15 = 75,33 درجة

الإجابة

x = 75,33 درجة

7.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = −0,5418 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

التقدير النقطي

x̄₁ − x̄₂ = 142 − 138,5 = 3,5

الخطأ المعياري

SE = √(15²/80 + 12²/100) = 2,062

هامش الخطأ

E = 1,96·2,062 = 4,042

الفترة

3,5 ± 4,042 → [−0,5418, 7,542]

الإجابة

الحد الأدنى = −0,5418 h

الفترة تحتوي على 0، لذا لا تُظهر البيانات فرقًا دالًّا إحصائيًا.

8.فترات الثقة

الإجابة: E = 2,081 kg

الانحراف المعياري المجمَّع

s_p² = (9·3² + 6·1²)/15 = 5,8

s_p = 2,408

هامش الخطأ

E = 1,753·2,408·√(1/10 + 1/7) = 2,081

الإجابة

E = 2,081 kg

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −1,8

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5

إحصائية الاختبار

t = (197,3 − 200)/1,5 = −1,8

الإجابة

t = −1,8

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: β = 55,76 %

قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

متوسط العينة الحرج

SE = 24/√64 = 3

x̄_c = 200 + 1,645·3 = 204,9

z وفق المتوسط الحقيقي

z = (204,9 − 204,5)/3 = 0,145

الخطأ من النوع الثاني

القوة = P(Z > 0,145) = 44,24%

β = 100% − 44,24% = 55,76%

الإجابة

β = 55,76%

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9921

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 79/6 = 13,17

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 111

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 178,8

معامل الارتباط

r = 111/√(70·178,8) = 0,9921

الإجابة

r = 0,9921

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = −2,438

المتوسطات

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 82/6 = 13,67

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 136

خط الانحدار

b = 136/70 = 1,943

a = 13,67 − 1,943·7 = 0,06667

ŷ = 0,06667 + 1,943·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 0,06667 + 1,943·11 = 21,44

البُواقي

e = 19 − 21,44 = −2,438

الإجابة

e = −2,438

تقع النقطة تحت الخط.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1