مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 55, 29, 25, 34, 18, 37.

n = 6

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 15. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 48.

μ = 60σ = 15x = 48

z =

3.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35

Var(X) =

4.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €5 للمشاركة. تربح €10 باحتمال 0,15 و€100 باحتمال 0,05؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €5€10: p = 0,15€100: p = 0,05

E(G) = €

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

أوزان الأكياس موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. ما النسبة التي تقع بين 248,75 و 254 g؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 250σ = 5x₁ = 248,75x₂ = 254

P =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

أطوال الرجال البالغين موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 90% منها (المئين 90).

μ = 178σ = 7P = 90%

x = cm

7.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 30 مفردة متوسطها 48 وانحرافها المعياري s = 7,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% للمتوسط.

n = 30x̄ = 48s = 7,590%t(29) = 1,699

الحد الأدنى =

8.فترات الثقةصعبة

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 11 قطعة، متوسط المحصول 86,5 kg، الانحراف المعياري 5,5 kg. مجموعة القطع 2: 11 قطعة، المتوسط 76 kg، الانحراف المعياري 2 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 95% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 11x̄₁ = 86,5s₁ = 5,5n₂ = 11x̄₂ = 76s₂ = 295%t(20) = 2,086

E = kg

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

تُقارن طريقتا تدريس. المجموعة 1: 11 طالبًا، متوسط الدرجة 87، الانحراف المعياري 2. المجموعة 2: 5 طالبًا، متوسط الدرجة 84,6، الانحراف المعياري 3. افترض تساوي تبايني المجتمعين واستخدم اختبار t المجمَّع لعينتين. أوجد إحصائية الاختبار t للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (المجموعة 1 ناقص المجموعة 2).

n₁ = 11x̄₁ = 87s₁ = 2n₂ = 5x̄₂ = 84,6s₂ = 3

t =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

في تجربة سريرية، تعافى 75 من 150 مريضًا على العلاج A، و 63 من 100 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 75n₁ = 150x₂ = 63n₂ = 100

z =

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 5

r² =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 23.

n = 5x = 23

ŷ =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 12,7

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 198/6 = 33

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 22² + (−4)² + (−8)² + 1² + (−15)² + 4² = 806

الانحراف المعياري

s = √(806/5) = 12,7

الإجابة

s = 12,7

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = −0,8

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (48 − 60)/15 = −0,8

الإجابة

z = −0,8

3.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 0,6475

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

التباين

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

الإجابة

Var(X) = 0,6475

4.الاحتمال

الإجابة: E(G) = 1,5 €

النتائج الصافية

G: 5 (p = 0,15), 95 (p = 0,05), −5 (p = 0,8)

القيمة المتوقعة

E(G) = 5·0,15 + 95·0,05 − 5·0,8 = 1,5 €

الإجابة

E(G) = 1,5 €

القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,3869

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (248,75 − 250)/5 = −0,25

z₂ = (254 − 250)/5 = 0,8

المساحة بين القيمتين

P = Φ(0,8) − Φ(−0,25) = 0,7881 − 0,4013 = 0,3869

الإجابة

P = 0,3869

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 187 cm

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

العودة إلى x

x = 178 + 1,282·7 = 186,97 cm

الإجابة

x = 186,97 cm

7.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 45,67

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 29, t = 1,699

هامش الخطأ

E = 1,699·7,5/√30 = 2,326

الفترة

48 ± 2,326 → [45,67, 50,33]

الإجابة

الحد الأدنى = 45,67

8.فترات الثقة

الإجابة: E = 3,681 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

الانحراف المعياري المجمَّع

s_p² = (10·5,5² + 10·2²)/20 = 17,13

s_p = 4,138

هامش الخطأ

E = 2,086·4,138·√(1/11 + 1/11) = 3,681

الإجابة

E = 3,681 kg

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 1,91

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

التباين المجمَّع

s_p² = (10·2² + 4·3²)/14 = 5,429

s_p = 2,33

الخطأ المعياري

SE = 2,33·√(1/11 + 1/5) = 1,257

إحصائية الاختبار

t = (87 − 84,6)/1,257 = 1,91

الإجابة

t = 1,91

مع df = 14، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,145؛ و|t| أصغر، لذا لا تُرفض H₀.

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = −2,025

نسبتا العينتين

p̂₁ = 75/150 = 0,5

p̂₂ = 63/100 = 0,63

p̂ = 138/250 = 0,552

الخطأ المعياري وفق H₀

SE = √(0,552·0,448·(1/150 + 1/100)) = 0,0642

إحصائية الاختبار

z = (0,5 − 0,63)/0,0642 = −2,025

الإجابة

z = −2,025

|z| > 1,96، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9698

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 99/5 = 19,8

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 92,8

معامل التحديد

r² = −30²/(10·92,8) = 0,9698

الإجابة

r² = 0,9698

نحو 96,98% من التباين في y يفسّره الخط.

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 70,85

المتوسطات

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 335/5 = 67

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 154

خط الانحدار

b = 154/40 = 3,85

a = 67 − 3,85·22 = −17,7

ŷ = −17,7 + 3,85·x

التنبؤ

ŷ = −17,7 + 3,85·23 = 70,85

الإجابة

ŷ = 70,85

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1