مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 53, 34, 41, 30, 29.

n = 5

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 75. ما نسبة P القيم الأكبر من 387,5؟

μ = 500σ = 75x = 387,5

P =

3.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,2, 0,15, 0,3

Var(X) =

4.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 10X + 4. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,3, 0,35, 0,1Y = 10X + 4

σ_Y =

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

أطوال الرجال البالغين موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. ما النسبة التي تقع بين 174,85 و 179,75 cm؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 178σ = 7x₁ = 174,85x₂ = 179,75

P =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

أعمار البطاريات موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 80% منها (المئين 80).

μ = 500σ = 40P = 80%

x = h

7.فترات الثقةمتوسطة

يُقاس ضغط الدم لـ 7 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها −2 وانحرافها المعياري 2,9. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 95% لمتوسط الفروق.

n = 7d̄ = −2s_d = 2,995%t(6) = 2,447

الحد الأدنى = mmHg

8.فترات الثقةصعبة

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 8 قطعة، متوسط المحصول 20 kg، الانحراف المعياري 10 kg. مجموعة القطع 2: 8 قطعة، المتوسط 14 kg، الانحراف المعياري 1,5 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 95% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 20s₁ = 10n₂ = 8x̄₂ = 14s₂ = 1,595%t(14) = 2,145

E = kg

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

تُقارن طريقتا تدريس. المجموعة 1: 5 طالبًا، متوسط الدرجة 27، الانحراف المعياري 5,5. المجموعة 2: 11 طالبًا، متوسط الدرجة 21,5، الانحراف المعياري 9,5. افترض تساوي تبايني المجتمعين واستخدم اختبار t المجمَّع لعينتين. أوجد إحصائية الاختبار t للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (المجموعة 1 ناقص المجموعة 2).

n₁ = 5x̄₁ = 27s₁ = 5,5n₂ = 11x̄₂ = 21,5s₂ = 9,5

t =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 100 قياسًا متوسطها 500,4. الانحراف المعياري للمجتمع 15. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 99% للمتوسط.

x̄ = 500,4σ = 15n = 10099%

U =

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 6

r² =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 7.

n = 5x = 7

ŷ =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 9,915

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 187/5 = 37,4

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 15,6² + (−3,4)² + 3,6² + (−7,4)² + (−8,4)² = 393,2

الانحراف المعياري

s = √(393,2/4) = 9,915

الإجابة

s = 9,915

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,9332

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −1,5

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

الإجابة

P = 0,9332

3.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 154

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 10·0,35 + 20·0,2 + 30·0,15 + 40·0,3 = 24

متوسط المربعات

E(X²) = 100·0,35 + 400·0,2 + 900·0,15 + 1600·0,3 = 730

التباين

Var(X) = 730 − 24² = 154

الإجابة

Var(X) = 154

4.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 95,39

تشتت X

μ = 23, Var(X) = 91, σ_X = 9,539

التغيير الخطي

σ_Y = |10|·9,539 = 95,39

الإجابة

σ_Y = 95,39

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 10·23 + 4 = 234.

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,2724

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (174,85 − 178)/7 = −0,45

z₂ = (179,75 − 178)/7 = 0,25

المساحة بين القيمتين

P = Φ(0,25) − Φ(−0,45) = 0,5987 − 0,3264 = 0,2724

الإجابة

P = 0,2724

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 533,7 h

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

العودة إلى x

x = 500 + 0,8416·40 = 533,66 h

الإجابة

x = 533,66 h

7.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = −4,682 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

القيمة الحرجة

df = 6, t = 2,447

هامش الخطأ

E = 2,447·2,9/√7 = 2,682

الفترة

−2 ± 2,682 → [−4,682, 0,6821]

الإجابة

الحد الأدنى = −4,682 mmHg

8.فترات الثقة

الإجابة: E = 7,669 kg

الانحراف المعياري المجمَّع

s_p² = (7·10² + 7·1,5²)/14 = 51,13

s_p = 7,15

هامش الخطأ

E = 2,145·7,15·√(1/8 + 1/8) = 7,669

الإجابة

E = 7,669 kg

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 1,193

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

التباين المجمَّع

s_p² = (4·5,5² + 10·9,5²)/14 = 73,11

s_p = 8,55

الخطأ المعياري

SE = 8,55·√(1/5 + 1/11) = 4,612

إحصائية الاختبار

t = (27 − 21,5)/4,612 = 1,193

الإجابة

t = 1,193

مع df = 14، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,145؛ و|t| أصغر، لذا لا تُرفض H₀.

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: U = 504,3

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

هامش الخطأ

E = 2,576·15/√100 = 3,864

حد الفترة

U = 500,4 + 3,864 = 504,3

الإجابة

U = 504,3

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9357

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 377/6 = 62,83

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 828,8

معامل التحديد

r² = 116,5²/(17,5·828,8) = 0,9357

الإجابة

r² = 0,9357

نحو 93,57% من التباين في y يفسّره الخط.

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 96,5

المتوسطات

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 447/5 = 89,4

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 284

خط الانحدار

b = 284/40 = 7,1

a = 89,4 − 7,1·6 = 46,8

ŷ = 46,8 + 7,1·x

التنبؤ

ŷ = 46,8 + 7,1·7 = 96,5

الإجابة

ŷ = 96,5

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1