الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
2مسائل تدريبية
1.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 12, 27, 29, 23, 31, 29, 36.
n = 7
s =
2.الإحصاء الوصفيصعبة
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 12. ما نسبة P القيم الأكبر من 42؟
μ = 60σ = 12x = 42
P =
3.الاحتمالمتوسطة
بكم طريقة N يمكن اختيار لجنة من 2 أشخاص من مجموعة من 6؟ الترتيب غير مهم.
n = 6k = 2
N =
4.الاحتمالصعبة
يُختبر 10 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,2. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟
n = 10p = 0,2
P =
5.التوزيع الطبيعيمتوسطة
كتل الصناديق مستقلة وطبيعية بمتوسط 12 kg وانحراف معياري 0,8 kg. أوجد الاحتمال P بأن تتجاوز الكتلة الكلية لـ 12 منها 145,4 kg. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 12> 145,4 kg
P =
6.التوزيع الطبيعيصعبة
زمن لفة العدّاء A وهو X وزمن لفة العدّاء B وهو Y مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 52 s وانحراف معياري 4 s، ولـ Y متوسط 48 s وانحراف معياري 3 s. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
7.فترات الثقةمتوسطة
يُقاس ضغط الدم لـ 9 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها −1,7 وانحرافها المعياري 7,1. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 90% لمتوسط الفروق.
n = 9d̄ = −1,7sd = 7,190%t(8) = 1,86
الحد الأعلى = mmHg
8.فترات الثقةصعبة
الانحراف المعياري للمجتمع 39. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 2,5 على الأكثر؟
σ = 39E = 2,590%
n =
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 16 طالبًا متوسط درجاتها 489 وانحرافها المعياري 20. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 489s = 20n = 16
t =
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
في تجربة سريرية، تعافى 75 من 250 مريضًا على العلاج A، و 55 من 250 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 75n₁ = 250x₂ = 55n₂ = 250
z =
11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.
n = 6
r =
12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 52؟
n = 6ŷ = 52
x =
3المحاليل
1.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 7,588
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 187/7 = 26,71
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−14,71)² + 0,2857² + 2,286² + (−3,714)² + 4,286² + 2,286² + 9,286² = 345,4
الانحراف المعياري
s = √(345,4/6) = 7,588
الإجابة
s = 7,588
2.الإحصاء الوصفي
الإجابة: P = 0,9332
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = −1,5
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
الإجابة
P = 0,9332
3.الاحتمال
الإجابة: N = 15
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
التوافيق
C(6, 2) = (6·5)/(2·1) = 15
الإجابة
N = 15
4.الاحتمال
الإجابة: P = 0,3758
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صفر وعطل واحد
P(X = 0) = 0,810 = 0,1074
P(X = 1) = 10·0,2·0,89 = 0,2684
اجمعها
P = 0,1074 + 0,2684 = 0,3758
الإجابة
P = 0,3758
5.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,305
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
توزيع المجموع الكلي
μT = 144 kg, σT = 0,8·√12 = 2,771 kg
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (145,4 − 144)/2,771 = 0,51
الاحتمال
P = 1 − Φ(0,51) = 0,305
الإجابة
P = 0,305
6.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,7881
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
توزيع الفرق
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (0 − 4)/5 = −0,8
الاحتمال
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
الإجابة
P = 0,7881
7.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأعلى = 2,702 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
القيمة الحرجة
df = 8, t = 1,86
هامش الخطأ
E = 1,86·7,1/√9 = 4,402
الفترة
−1,7 ± 4,402 → [−6,102, 2,702]
الإجابة
الحد الأعلى = 2,702 mmHg
8.فترات الثقة
الإجابة: n = 659
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = (1,645·39/2,5)² = 658,5
قرّب إلى الأعلى
حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.
n = 659
الإجابة
n = 659
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = −2,2
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 20/√16 = 20/4 = 5
إحصائية الاختبار
t = (489 − 500)/5 = −2,2
الإجابة
t = −2,2
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: z = 2,039
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
نسبتا العينتين
p̂₁ = 75/250 = 0,3
p̂₂ = 55/250 = 0,22
p̂ = 130/500 = 0,26
الخطأ المعياري وفق H₀
SE = √(0,26·0,74·(1/250 + 1/250)) = 0,03923
إحصائية الاختبار
z = (0,3 − 0,22)/0,03923 = 2,039
الإجابة
z = 2,039
|z| > 1,96، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
11.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = 0,9489
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 259/6 = 43,17
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 173
Syy = Σ(y − ȳ)² = 474,8
معامل الارتباط
r = 173/√(70·474,8) = 0,9489
الإجابة
r = 0,9489
12.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: x = 21,34
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 147/6 = 24,5
ȳ = 371/6 = 61,83
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 490,5
خط الانحدار
b = 490,5/157,5 = 3,114
a = 61,83 − 3,114·24,5 = −14,47
ŷ = −14,47 + 3,114·x
حلّ لإيجاد x
x = (52 − (−14,47))/3,114 = 21,34
الإجابة
x = 21,34
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1