مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط
x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط
القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z
z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي
68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم
P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z
z = (x − μ)/σ
أقل من x
P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين
Φ(z2) − Φ(z1)
المئين
x = μ + z·σ

الطريقة

  1. حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
  2. ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
  3. للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
  4. للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة
x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة
n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

  1. اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
  2. أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
  3. هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
  4. الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%
ارفض H0 إذا |z| > 1,96
فترة الثقة
x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

  1. اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
  2. احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
  3. قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
  4. ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل
b = Sxy/Sxx
المقطع
a = ȳ − b·x̄
الارتباط
r = Sxy/√(SxxSyy)
البُواقي
e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة
2025303540455055

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 21, 34, 34, 55, 16, 25, 42.

n = 7
s =
2.الإحصاء الوصفيصعبة
z −2−1012

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 60. ما نسبة P القيم الأكبر من 380؟

μ = 500σ = 60x = 380
P =
3.الاحتمالمتوسطة
n = 8k = 4N = ?

بكم طريقة N يمكن اختيار لجنة من 4 أشخاص من مجموعة من 8؟ الترتيب غير مهم.

n = 8k = 4
N =
4.الاحتمالصعبة
xp(x)00,2510,2520,0530,1540,3μ

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 10X + 4. أوجد الانحراف المعياري σY للمتغير Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,25, 0,05, 0,15, 0,3Y = 10X + 4
σY =
5.التوزيع الطبيعيمتوسطة
−3−2−10123zالمساحة المظللة على يمين z = 0,3409

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,3409. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,3409
z =
6.التوزيع الطبيعيصعبة
380420460500540580620hالأعلى 70%

تتوزع أعمار البطاريات توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأعلى 70% على يمينه. أوجد حد القطع x.

μ = 500 hσ = 40 h70%
x = h
7.فترات الثقةمتوسطة
x̄E₁ = 8,199%, n = 64x̄E₂ = ?95%, n = 576

فترة ثقة 99% لمتوسط، مبنية على 64 مشاهدة و σ معلومة، لها هامش خطأ 8,1. ما هامش الخطأ E₂ لفترة 95% مبنية على 576 مشاهدة؟

99%n₁ = 64E₁ = 8,195%n₂ = 576
E₂ =
8.فترات الثقةصعبة
σ = 21, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 499%

الانحراف المعياري للمجتمع 21. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للمتوسط 4 على الأكثر؟

σ = 21E = 499%
n =
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
t −2,01102,011

عينة من 49 طالبًا متوسط درجاتها 121,2 وانحرافها المعياري 12. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 121,2s = 12n = 49
t =
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
σ = 15, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0,590%

ما حجم العينة اللازم كي يكون هامش الخطأ لفترة الثقة 90% للمتوسط 0,5 على الأكثر؟ الانحراف المعياري 15. أوجد أصغر حجم عينة n.

σ = 15E = 0,590%
n =
11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
xy15035056377899011100xy5106080100

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 6Σx = 36Σy = 431Σx² = 286Σy² = 33153Σxy = 2971
r =
12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
xy21041862283110401249xy5102040x = 7

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (7, 24). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 6(7, 24)
e =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 13,3

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 227/7 = 32,43

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−11,43)² + 1,571² + 1,571² + 22,57² + (−16,43)² + (−7,429)² + 9,571² = 1062

الانحراف المعياري

s = √(1062/6) = 13,3

الإجابة

s = 13,3
2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,9772

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −2

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−2) = 0,02275
P = 1 − 0,02275 = 0,9772

الإجابة

P = 0,9772
3.الاحتمال

الإجابة: N = 70

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

التوافيق

C(8, 4) = (8·7·6·5)/(4·3·2·1) = 70

الإجابة

N = 70
4.الاحتمال

الإجابة: σY = 16,12

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

تشتت X

μ = 2, Var(X) = 2,6, σX = 1,612

التغيير الخطي

σY = |10|·1,612 = 16,12

الإجابة

σY = 16,12

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 10·2 + 4 = 24.

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 0,41

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,3409 = 0,6591

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,6591 داخل الجدول واقرأ z.

z = 0,41

الإجابة

z = 0,41
6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 479 h

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,3

z من الجدول

z ≈ −0,52

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 500 − 0,52·40 = 479 h

الإجابة

x = 479 h
7.فترات الثقة

الإجابة: E₂ = 2,054

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

نسبة الهامشين

E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(64/576) = 0,2536

الهامش الجديد

E₂ = 8,1·0,2536 = 2,054

الإجابة

E₂ = 2,054
8.فترات الثقة

الإجابة: n = 183

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = (2,576·21/4)² = 182,9

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 183

الإجابة

n = 183
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 0,7

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 12/√49 = 12/7 = 1,714

إحصائية الاختبار

t = (121,2 − 120)/1,714 = 0,7

الإجابة

t = 0,7
t0,025; df = 48 = 2,011

|t| < 2.011، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 2436

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

حُلّ لإيجاد n

n = (1,645·15/0,5)² = 2435

قرّب إلى الأعلى

n = 2436

الإجابة

n = 2436
11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9827

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

Sxy = 2971 − 36·431/6 = 385
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 33153 − 431²/6 = 2193

معامل الارتباط

r = 385/√(70·2193) = 0,9827

الإجابة

r = 0,9827
12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = −4,333

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 170/6 = 28,33

مجاميع المربعات والضروب

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 270

خط الانحدار

b = 270/70 = 3,857
a = 28,33 − 3,857·7 = 1,333
ŷ = 1,333 + 3,857·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 1,333 + 3,857·7 = 28,33

البُواقي

e = 24 − 28,33 = −4,333

الإجابة

e = −4,333

تقع النقطة تحت الخط.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1