الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
2مسائل تدريبية
1.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 46, 29, 29, 42, 12.
n = 5
s =
2.الإحصاء الوصفيصعبة
درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 40. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 540.
μ = 500σ = 40x = 540
z =
3.الاحتمالمتوسطة
يُرمى حجر نرد منتظم 7 مرات. ما احتمال P الحصول على ستة واحدة على الأقل؟
n = 7
P =
4.الاحتمالصعبة
يحتوي اختبار على 10 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,5، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 1 إجابات صحيحة بالضبط؟
n = 10p = 0,5k = 1
P =
5.التوزيع الطبيعيمتوسطة
اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,7324. أوجد z بمنزلتين عشريتين.
A = 0,7324
z =
6.التوزيع الطبيعيصعبة
درجات الامتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 10% منها (المئين 10).
μ = 65σ = 10P = 10%
x = درجة
7.فترات الثقةمتوسطة
فترة ثقة 95% لمتوسط، مبنية على 100 مشاهدة و σ معلومة، لها هامش خطأ 1. ما هامش الخطأ E₂ لفترة 90% مبنية على 900 مشاهدة؟
95%n₁ = 100E₁ = 190%n₂ = 900
E₂ =
8.فترات الثقةصعبة
تشير دراسة استطلاعية إلى أن نحو 0,6 من المنتجات معيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للنسبة 0,03 على الأكثر؟
p ≈ 0,6E = 0,0390%
n =
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 64 طالبًا متوسط درجاتها 48,88 وانحرافها المعياري 5. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 48,88s = 5n = 64
t =
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
في تجربة سريرية، تعافى 55 من 100 مريضًا على العلاج A، و 59 من 120 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 55n₁ = 100x₂ = 59n₂ = 120
z =
11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.
n = 6
r² =
12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 15؟
n = 5ŷ = 15
x =
3المحاليل
1.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 13,35
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 158/5 = 31,6
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = 14,4² + (−2,6)² + (−2,6)² + 10,4² + (−19,6)² = 713,2
الانحراف المعياري
s = √(713,2/4) = 13,35
الإجابة
s = 13,35
2.الإحصاء الوصفي
الإجابة: z = 1
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (540 − 500)/40 = 1
الإجابة
z = 1
3.الاحتمال
الإجابة: P = 0,7209
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
الحدث المتمم
P(لا ستة) = (5/6)7 = 0,2791
P = 1 − 0,2791 = 0,7209
الإجابة
P = 0,7209
4.الاحتمال
الإجابة: P = 0,009766
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صيغة ذي الحدين
P(X = 1) = 10·0,51·0,59 = 10·0,5·0,001953 = 0,009766
الإجابة
P = 0,009766
5.التوزيع الطبيعي
الإجابة: z = −0,62
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على يسار z
Φ(z) = 1 − 0,7324 = 0,2676
اقرأ جدول z بالعكس
ابحث عن 0,2676 داخل الجدول واقرأ z.
z = −0,62
الإجابة
z = −0,62
6.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 52,18 درجة
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
قيمة z للمئين
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
العودة إلى x
x = 65 + −1,282·10 = 52,18 درجة
الإجابة
x = 52,18 درجة
7.فترات الثقة
الإجابة: E₂ = 0,2798
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
نسبة الهامشين
E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(100/900) = 0,2798
الهامش الجديد
E₂ = 1·0,2798 = 0,2798
الإجابة
E₂ = 0,2798
8.فترات الثقة
الإجابة: n = 722
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
حُلّ لإيجاد n
n = 1,645²·0,6·0,4/0,03² = 721,6
قرّب إلى الأعلى
n = 722
الإجابة
n = 722
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = −1,792
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 5/√64 = 5/8 = 0,625
إحصائية الاختبار
t = (48,88 − 50)/0,625 = −1,792
الإجابة
t = −1,792
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: z = 0,8622
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
نسبتا العينتين
p̂₁ = 55/100 = 0,55
p̂₂ = 59/120 = 0,4917
p̂ = 114/220 = 0,5182
الخطأ المعياري وفق H₀
SE = √(0,5182·0,4818·(1/100 + 1/120)) = 0,06766
إحصائية الاختبار
z = (0,55 − 0,4917)/0,06766 = 0,8622
الإجابة
z = 0,8622
|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
11.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r² = 0,9191
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 113/6 = 18,83
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −36,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 82,83
معامل التحديد
r² = −36,5²/(17,5·82,83) = 0,9191
الإجابة
r² = 0,9191
نحو 91,91% من التباين في y يفسّره الخط.
12.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: x = 4,524
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 91/5 = 18,2
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21
خط الانحدار
b = −21/10 = −2,1
a = 18,2 − (−2,1)·3 = 24,5
ŷ = 24,5 − 2,1·x
حلّ لإيجاد x
x = (15 − 24,5)/(−2,1) = 4,524
الإجابة
x = 4,524
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1