مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 26, 28, 40, 22, 25, 56, 20.

n = 7

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 20. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 60.

μ = 70σ = 20x = 60

z =

3.الاحتمالمتوسطة

بكم طريقة N يمكن اختيار لجنة من 3 أشخاص من مجموعة من 11؟ الترتيب غير مهم.

n = 11k = 3

N =

4.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = −2X + 4. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,15, 0,25, 0,15, 0,3Y = −2X + 4

σ_Y =

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

X طبيعي بمتوسط 120 mm وانحراف معياري 0,3 mm؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 80 mm وانحراف معياري 0,4 mm. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 200,6 mm. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 200,6 mm

P =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,04 mm وانحراف معياري 0,02 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,01 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

الثقب: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.فترات الثقةمتوسطة

يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 50 هاتفًا، المتوسط 80 h، الانحراف المعياري المعلوم 8 h. الطراز 2: 80 هاتفًا، المتوسط 70,5 h، الانحراف المعياري المعلوم 15 h. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 95% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 80 hσ₁ = 8 hn₂ = 80x̄₂ = 70,5 hσ₂ = 15 h95%

الحد الأدنى = h

8.فترات الثقةصعبة

لأقطار 20 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 11,9 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأدنى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 19، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 8,907 و 2,5% فوق 32,852.

n = 20s = 11,9 µmχ² = 8,907, 32,852

σ = µm

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 49 طالبًا متوسط درجاتها 74,36 وانحرافها المعياري 5. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 74,36s = 5n = 49

t =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

ما حجم العينة اللازم كي يكون هامش الخطأ لفترة الثقة 95% للمتوسط 1,5 على الأكثر؟ الانحراف المعياري 8. أوجد أصغر حجم عينة n.

σ = 8E = 1,595%

n =

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 6

r =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 8؟

n = 6ŷ = 8

x =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 12,77

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 217/7 = 31

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−5)² + (−3)² + 9² + (−9)² + (−6)² + 25² + (−11)² = 978

الانحراف المعياري

s = √(978/6) = 12,77

الإجابة

s = 12,77

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = −0,5

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (60 − 70)/20 = −0,5

الإجابة

z = −0,5

3.الاحتمال

الإجابة: N = 165

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

التوافيق

C(11, 3) = (11·10·9)/(3·2·1) = 165

الإجابة

N = 165

4.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 2,835

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

تشتت X

μ = 2,3, Var(X) = 2,01, σ_X = 1,418

التغيير الخطي

σ_Y = |−2|·1,418 = 2,835

الإجابة

σ_Y = 2,835

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = −2·2,3 + 4 = −0,6.

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,1151

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (200,6 − 200)/0,5 = 1,2

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(1,2) = 1 − 0,8849 = 0,1151

الإجابة

P = 0,1151

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9633

توزيع الفرق

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02236 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 0,04)/0,02236 = −1,79

الاحتمال

P = 1 − Φ(−1,79) = 0,9633

الإجابة

P = 0,9633

7.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 5,535 h

فترة لفرق: التقدير ± القيمة الحرجة × الخطأ المعياري. لمتوسطين مستقلين مع σ معلومة: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) و z. مع تباينين متساويين مجهولين: s_p المجمَّع و t بدرجات حرية n₁ + n₂ − 2. للبيانات المزدوجة، اعمل على الفروق: d̄ ± t·s_d/√n.

التقدير النقطي

x̄₁ − x̄₂ = 80 − 70,5 = 9,5

الخطأ المعياري

SE = √(8²/50 + 15²/80) = 2,023

هامش الخطأ

E = 1,96·2,023 = 3,965

الفترة

9,5 ± 3,965 → [5,535, 13,47]

الإجابة

الحد الأدنى = 5,535 h

الفترة لا تحتوي على 0، لذا يختلف المتوسطان اختلافًا دالًّا إحصائيًا.

8.فترات الثقة

الإجابة: σ = 9,05 µm

فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.

مجموع المربعات

(n − 1)s² = 19·11,9² = 2691

حدّا σ²

2691/32,852 = 81,9

2691/8,907 = 302,1

حدّ σ

σ = √81,9 = 9,05 µm

الإجابة

σ = 9,05 µm

فترة 95% لـ σ: [9,05, 17,38] µm.

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −0,896

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 5/√49 = 5/7 = 0,7143

إحصائية الاختبار

t = (74,36 − 75)/0,7143 = −0,896

الإجابة

t = −0,896

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 110

حُلّ لإيجاد n

n = (1,96·8/1,5)² = 109,3

قرّب إلى الأعلى

n = 110

الإجابة

n = 110

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9994

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 351/6 = 58,5

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 283

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1146

معامل الارتباط

r = 283/√(70·1146) = 0,9994

الإجابة

r = 0,9994

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 3,223

المتوسطات

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 93/6 = 15,5

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 139

خط الانحدار

b = 139/70 = 1,986

a = 15,5 − 1,986·7 = 1,6

ŷ = 1,6 + 1,986·x

حلّ لإيجاد x

x = (8 − 1,6)/1,986 = 3,223

الإجابة

x = 3,223

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1