مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 53, 27, 37, 19, 36.

n = 5

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 20. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 195.

μ = 170σ = 20x = 195

z =

3.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,2, 0,3, 0,2

Var(X) =

4.الاحتمالصعبة

يُختبر 7 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,5. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟

n = 7p = 0,5

P =

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

X طبيعي بمتوسط 12 min وانحراف معياري 1,5 min؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 20 min وانحراف معياري 2 min. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 35,1 min. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 35,1 min

P =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أطوال الرجال البالغين توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 75% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 178 cmσ = 7 cm75%

x = cm

7.فترات الثقةمتوسطة

فترة ثقة 90% لمتوسط، مبنية على 100 مشاهدة و σ معلومة، لها هامش خطأ 3. ما هامش الخطأ E₂ إذا استخدمت الدراسة نفسها 200 مشاهدة بدلًا من ذلك؟

90%n₁ = 100E₁ = 3n₂ = 200

E₂ =

8.فترات الثقةصعبة

لأقطار 20 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 5,8 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأدنى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 19، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 8,907 و 2,5% فوق 32,852.

n = 20s = 5,8 µmχ² = 8,907, 32,852

σ = µm

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يجري 12 موظفًا اختبار طباعة قبل دورة تدريبية وبعدها. لكل شخص يُسجَّل الفرق d = بعد − قبل (كلمة في الدقيقة). متوسط الفروق −0,76 والانحراف المعياري للفروق 1,1. أوجد إحصائية الاختبار المزدوج t للفرضية H₀: μ_d = 0.

n = 12d̄ = −0,76s_d = 1,1

t =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 50 مقابل H₁: μ < 50 عند α = 0.05 بعينة من 64؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 24. في الواقع المتوسط 43.4. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.

μ₀ = 50μ = 43,4σ = 24n = 64α = 0,05

1 − β = %

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 5Σx = 30Σy = 121Σx² = 220Σy² = 3509Σxy = 878

r =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 34؟

n = 6ŷ = 34

x =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 12,72

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 172/5 = 34,4

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 18,6² + (−7,4)² + 2,6² + (−15,4)² + 1,6² = 647,2

الانحراف المعياري

s = √(647,2/4) = 12,72

الإجابة

s = 12,72

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 1,25

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (195 − 170)/20 = 1,25

الإجابة

z = 1,25

3.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 1,24

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 1·0,3 + 2·0,2 + 3·0,3 + 4·0,2 = 2,4

متوسط المربعات

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,2 + 9·0,3 + 16·0,2 = 7

التباين

Var(X) = 7 − 2,4² = 1,24

الإجابة

Var(X) = 1,24

4.الاحتمال

الإجابة: P = 0,0625

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صفر وعطل واحد

P(X = 0) = 0,5⁷ = 0,007813

P(X = 1) = 7·0,5·0,5⁶ = 0,05469

اجمعها

P = 0,007813 + 0,05469 = 0,0625

الإجابة

P = 0,0625

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,1075

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (35,1 − 32)/2,5 = 1,24

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(1,24) = 1 − 0,8925 = 0,1075

الإجابة

P = 0,1075

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 182,7 cm

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,75

z من الجدول

z ≈ 0,67

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 178 + 0,67·7 = 182,7 cm

الإجابة

x = 182,7 cm

7.فترات الثقة

الإجابة: E₂ = 2,121

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

نسبة الهامشين

E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(100/200) = 0,7071

الهامش الجديد

E₂ = 3·0,7071 = 2,121

الإجابة

E₂ = 2,121

8.فترات الثقة

الإجابة: σ = 4,411 µm

فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.

مجموع المربعات

(n − 1)s² = 19·5,8² = 639,2

حدّا σ²

639,2/32,852 = 19,46

639,2/8,907 = 71,76

حدّ σ

σ = √19,46 = 4,411 µm

الإجابة

σ = 4,411 µm

فترة 95% لـ σ: [4,411, 8,471] µm.

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −2,393

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

الخطأ المعياري لمتوسط الفروق

SE = 1,1/√12 = 0,3175

إحصائية الاختبار

t = −0,76/0,3175 = −2,393

الإجابة

t = −2,393

مع df = 11، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,201؛ و|t| أكبر، لذا تُرفض H₀.

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: 1 − β = 71,06 %

قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

متوسط العينة الحرج

SE = 24/√64 = 3

x̄_c = 50 − 1,645·3 = 45,06

z وفق المتوسط الحقيقي

z = (45,06 − 43,4)/3 = 0,555

القدرة

القوة = P(Z < 0.555) = 71.06%

1 − β = 71,06%

الإجابة

1 − β = 71,06%

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9972

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 878 − 30·121/5 = 152

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 3509 − 121²/5 = 580,8

معامل الارتباط

r = 152/√(40·580,8) = 0,9972

الإجابة

r = 0,9972

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 11,03

المتوسطات

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 126/6 = 21

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 226

خط الانحدار

b = 226/70 = 3,229

a = 21 − 3,229·7 = −1,6

ŷ = −1,6 + 3,229·x

حلّ لإيجاد x

x = (34 − (−1,6))/3,229 = 11,03

الإجابة

x = 11,03

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1