الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
2مسائل تدريبية
1.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 40, 22, 28, 27, 29, 45, 15.
n = 7
s =
2.الإحصاء الوصفيصعبة
درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 20. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 46.
μ = 70σ = 20x = 46
z =
3.الاحتمالمتوسطة
للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,35, 0,05, 0,3, 0,2
Var(X) =
4.الاحتمالصعبة
يُختبر 6 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,7. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟
n = 6p = 0,7
P =
5.التوزيع الطبيعيمتوسطة
أوزان الأكياس موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. ما النسبة التي تقع بين 250 و 260 g؟ أعطِ P كعدد عشري.
μ = 250σ = 5x1 = 250x2 = 260
P =
6.التوزيع الطبيعيصعبة
درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 75% منها (المئين 75).
μ = 100σ = 15P = 75%
x = درجة
7.فترات الثقةمتوسطة
عينة من 12 مفردة متوسطها 82,5 وانحرافها المعياري s = 14. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 95% للمتوسط.
n = 12x̄ = 82,5s = 1495%t(11) = 2,201
الحد الأعلى =
8.فترات الثقةصعبة
لأقطار 16 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 1,2 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأعلى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 15، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 6,262 و 2,5% فوق 27,488.
n = 16s = 1,2 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
تُقارن طريقتا تدريس. المجموعة 1: 14 طالبًا، متوسط الدرجة 105، الانحراف المعياري 11. المجموعة 2: 7 طالبًا، متوسط الدرجة 113,9، الانحراف المعياري 5,5. افترض تساوي تبايني المجتمعين واستخدم اختبار t المجمَّع لعينتين. أوجد إحصائية الاختبار t للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (المجموعة 1 ناقص المجموعة 2).
n₁ = 14x̄₁ = 105s₁ = 11n₂ = 7x̄₂ = 113,9s₂ = 5,5
t =
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
عينة من 36 قياسًا متوسطها 104,2. الانحراف المعياري للمجتمع 12. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 99% للمتوسط.
x̄ = 104,2σ = 12n = 3699%
U =
11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.
n = 6
r² =
12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (11, 40). أوجد باقيها e = y − ŷ.
n = 6(11, 40)
e =
3المحاليل
1.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 10,21
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 206/7 = 29,43
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = 10,57² + (−7,429)² + (−1,429)² + (−2,429)² + (−0,4286)² + 15,57² + (−14,43)² = 625,7
الانحراف المعياري
s = √(625,7/6) = 10,21
الإجابة
s = 10,21
2.الإحصاء الوصفي
الإجابة: z = −1,2
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (46 − 70)/20 = −1,2
الإجابة
z = −1,2
3.الاحتمال
الإجابة: Var(X) = 1,828
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
المتوسط
μ = 1·0,1 + 2·0,35 + 3·0,05 + 4·0,3 + 5·0,2 = 3,15
متوسط المربعات
E(X²) = 1·0,1 + 4·0,35 + 9·0,05 + 16·0,3 + 25·0,2 = 11,75
التباين
Var(X) = 11,75 − 3,15² = 1,828
الإجابة
Var(X) = 1,828
4.الاحتمال
الإجابة: P = 0,01094
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صفر وعطل واحد
P(X = 0) = 0,36 = 0,000729
P(X = 1) = 6·0,7·0,35 = 0,01021
اجمعها
P = 0,000729 + 0,01021 = 0,01094
الإجابة
P = 0,01094
5.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,4772
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
الدرجات المعيارية
z₁ = (250 − 250)/5 = 0
z₂ = (260 − 250)/5 = 2
المساحة بين القيمتين
P = Φ(2) − Φ(0) = 0,9772 − 0,5 = 0,4772
الإجابة
P = 0,4772
6.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 110,1 درجة
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
قيمة z للمئين
Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745
العودة إلى x
x = 100 + 0,6745·15 = 110,12 درجة
الإجابة
x = 110,12 درجة
7.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأعلى = 91,4
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
القيمة الحرجة
df = n − 1 = 11, t = 2,201
هامش الخطأ
E = 2,201·14/√12 = 8,895
الفترة
82,5 ± 8,895 → [73,6, 91,4]
الإجابة
الحد الأعلى = 91,4
8.فترات الثقة
الإجابة: σ = 1,857 µm
فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.
مجموع المربعات
(n − 1)s² = 15·1,2² = 21,6
حدّا σ²
21,6/27,488 = 0,7858
21,6/6,262 = 3,449
حدّ σ
σ = √3,449 = 1,857 µm
الإجابة
σ = 1,857 µm
فترة 95% لـ σ: [0,8865, 1,857] µm.
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = −2,001
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
التباين المجمَّع
sp² = (13·11² + 6·5,5²)/19 = 92,34
sp = 9,609
الخطأ المعياري
SE = 9,609·√(1/14 + 1/7) = 4,448
إحصائية الاختبار
t = (105 − 113,9)/4,448 = −2,001
الإجابة
t = −2,001
مع df = 19، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,093؛ و|t| أصغر، لذا لا تُرفض H₀.
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: U = 109,4
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
هامش الخطأ
E = 2,576·12/√36 = 5,152
حد الفترة
U = 104,2 + 5,152 = 109,4
الإجابة
U = 109,4
11.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r² = 0,9237
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 320/6 = 53,33
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 76
Syy = Σ(y − ȳ)² = 357,3
معامل التحديد
r² = 76²/(17,5·357,3) = 0,9237
الإجابة
r² = 0,9237
نحو 92,37% من التباين في y يفسّره الخط.
12.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: e = −4,005
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 167/6 = 27,83
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 283
خط الانحدار
b = 283/70 = 4,043
a = 27,83 − 4,043·7 = −0,4667
ŷ = −0,4667 + 4,043·x
القيمة المتنبَّأ بها
ŷ = −0,4667 + 4,043·11 = 44
البُواقي
e = 40 − 44 = −4,005
الإجابة
e = −4,005
تقع النقطة تحت الخط.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1