مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 10, 57, 36, 36, 46, 28, 58.

n = 7

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 50. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 600.

μ = 500σ = 50x = 600

z =

3.الاحتمالمتوسطة

بكم طريقة N يمكن اختيار لجنة من 4 أشخاص من مجموعة من 6؟ الترتيب غير مهم.

n = 6k = 4

N =

4.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = −2X + 4. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,15, 0,3, 0,2Y = −2X + 4

σ_Y =

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. ما النسبة التي تقع بين 70,75 و 118 درجة؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 100σ = 15x₁ = 70,75x₂ = 118

P =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,05 mm وانحراف معياري 0,015 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,02 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

الثقب: μ = 25,05 mm, σ = 0,015 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 11 مفردة متوسطها 33 وانحرافها المعياري s = 15. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% للمتوسط.

n = 11x̄ = 33s = 1590%t(10) = 1,812

الحد الأدنى =

8.فترات الثقةصعبة

لا يُعرف شيء مسبقًا عن نسبة المنتجات المعيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للنسبة 0,01 على الأكثر؟

p = 0,5E = 0,0190%

n =

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يُزعم أن متوسط مجتمع ما 80؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 32. متوسط عينة عشوائية من 64 مشاهدة هو 84,72. اختبر H₀: μ = 80 مقابل H₁: μ > 80. أوجد القيمة الاحتمالية p.

μ₀ = 80σ = 32n = 64x̄ = 84,72H₁: μ > μ₀

p =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 25 قياسًا متوسطها 499,6. الانحراف المعياري للمجتمع 4. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 95% للمتوسط.

x̄ = 499,6σ = 4n = 2595%

L =

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 6

r =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (25,5, 149). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 5(25,5, 149)

e =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 16,9

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 271/7 = 38,71

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−28,71)² + 18,29² + (−2,714)² + (−2,714)² + 7,286² + (−10,71)² + 19,29² = 1713

الانحراف المعياري

s = √(1713/6) = 16,9

الإجابة

s = 16,9

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 2

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (600 − 500)/50 = 2

الإجابة

z = 2

3.الاحتمال

الإجابة: N = 15

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

التوافيق

C(6, 4) = (6·5·4·3)/(4·3·2·1) = 15

الإجابة

N = 15

4.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 2,304

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

تشتت X

μ = 1,35, Var(X) = 1,327, σ_X = 1,152

التغيير الخطي

σ_Y = |−2|·1,152 = 2,304

الإجابة

σ_Y = 2,304

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = −2·1,35 + 4 = 1,3.

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,8593

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (70,75 − 100)/15 = −1,95

z₂ = (118 − 100)/15 = 1,2

المساحة بين القيمتين

P = Φ(1,2) − Φ(−1,95) = 0,8849 − 0,02559 = 0,8593

الإجابة

P = 0,8593

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9772

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,025 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 0,05)/0,025 = −2

الاحتمال

P = 1 − Φ(−2) = 0,9772

الإجابة

P = 0,9772

7.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 24,8

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 10, t = 1,812

هامش الخطأ

E = 1,812·15/√11 = 8,195

الفترة

33 ± 8,195 → [24,8, 41,2]

الإجابة

الحد الأدنى = 24,8

8.فترات الثقة

الإجابة: n = 6766

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 1,645²·0,5·0,5/0,01² = 6765

قرّب إلى الأعلى

n = 6766

الإجابة

n = 6766

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: p = 0,119

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

إحصائية الاختبار

SE = σ/√n = 32/√64 = 4

z = (84,72 − 80)/4 = 1,18

مساحة الذيل

Φ(1,18) = 0,8810

1 − Φ(1,18) = 0,1190

القيمة الاحتمالية

p = 0,119

الإجابة

p = 0,119

p > 0,05، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: L = 498

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

هامش الخطأ

E = 1,96·4/√25 = 1,568

حد الفترة

L = 499,6 − 1,568 = 498

الإجابة

L = 498

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = −0,9537

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 144/6 = 24

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −37

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 86

معامل الارتباط

r = −37/√(17,5·86) = −0,9537

الإجابة

r = −0,9537

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = 4,7

المتوسطات

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 672/5 = 134,4

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 594

خط الانحدار

b = 594/90 = 6,6

a = 134,4 − 6,6·24 = −24

ŷ = −24 + 6,6·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = −24 + 6,6·25,5 = 144,3

البُواقي

e = 149 − 144,3 = 4,7

الإجابة

e = 4,7

تقع النقطة فوق الخط.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1