مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 35, 45, 10, 52, 50, 33, 15.

n = 7

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 15. ما نسبة P القيم الأقل من 82؟

μ = 100σ = 15x = 82

P =

3.الاحتمالمتوسطة

يُرمى حجر نرد منتظم 6 مرات. ما احتمال P الحصول على ستة واحدة على الأقل؟

n = 6

P =

4.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €2 للمشاركة. تربح €4 باحتمال 0,15 و€100 باحتمال 0,05؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €2€4: p = 0,15€100: p = 0,05

E(G) = €

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

X طبيعي بمتوسط 12 min وانحراف معياري 1,5 min؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 20 min وانحراف معياري 2 min. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 37 min. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 37 min

P =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع درجات معدل الذكاء (IQ) توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 25% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 100 درجةσ = 15 درجة25%

x = درجة

7.فترات الثقةمتوسطة

يُقاس ضغط الدم لـ 10 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها 1,6 وانحرافها المعياري 5,6. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% لمتوسط الفروق.

n = 10d̄ = 1,6s_d = 5,690%t(9) = 1,833

الحد الأدنى = mmHg

8.فترات الثقةصعبة

تشير دراسة استطلاعية إلى أن نحو 0,6 من المنتجات معيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للنسبة 0,02 على الأكثر؟

p ≈ 0,6E = 0,0295%

n =

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

خطّا إنتاج يصنعان الجزء نفسه. الخط 1: عينة من 30 جزءًا متوسط طولها 48 mm، والانحراف المعياري المعلوم للخط 7 mm. الخط 2: عينة من 50 جزءًا متوسطها 46,7 mm، والانحراف المعياري المعلوم 7 mm. أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (الخط 1 ناقص الخط 2).

n₁ = 30x̄₁ = 48 mmσ₁ = 7 mmn₂ = 50x̄₂ = 46,7 mmσ₂ = 7 mm

z =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 81 قياسًا متوسطها 74,5. الانحراف المعياري للمجتمع 5. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 90% للمتوسط.

x̄ = 74,5σ = 5n = 8190%

U =

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 6

r² =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 23؟

n = 5ŷ = 23

x =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 16,53

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 240/7 = 34,29

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 0,7143² + 10,71² + (−24,29)² + 17,71² + 15,71² + (−1,286)² + (−19,29)² = 1639

الانحراف المعياري

s = √(1639/6) = 16,53

الإجابة

s = 16,53

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,1151

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −1,2

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 0,1151

الإجابة

P = 0,1151

3.الاحتمال

الإجابة: P = 0,6651

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

الحدث المتمم

P(لا ستة) = (5/6)⁶ = 0,3349

P = 1 − 0,3349 = 0,6651

الإجابة

P = 0,6651

4.الاحتمال

الإجابة: E(G) = 3,6 €

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

النتائج الصافية

G: 2 (p = 0,15), 98 (p = 0,05), −2 (p = 0,8)

القيمة المتوقعة

E(G) = 2·0,15 + 98·0,05 − 2·0,8 = 3,6 €

الإجابة

E(G) = 3,6 €

القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,02275

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (37 − 32)/2,5 = 2

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

الإجابة

P = 0,02275

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 90 درجة

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,25

z من الجدول

z ≈ −0,67

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 100 − 0,67·15 = 90 درجة

الإجابة

x = 90 درجة

7.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = −1,646 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

القيمة الحرجة

df = 9, t = 1,833

هامش الخطأ

E = 1,833·5,6/√10 = 3,246

الفترة

1,6 ± 3,246 → [−1,646, 4,846]

الإجابة

الحد الأدنى = −1,646 mmHg

8.فترات الثقة

الإجابة: n = 2305

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 1,96²·0,6·0,4/0,02² = 2305

قرّب إلى الأعلى

n = 2305

الإجابة

n = 2305

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = 0,8042

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

الخطأ المعياري للفرق

SE = √(7²/30 + 7²/50) = √2,613 = 1,617

إحصائية الاختبار

z = (48 − 46,7)/1,617 = 0,8042

الإجابة

z = 0,8042

|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: U = 75,41

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

هامش الخطأ

E = 1,645·5/√81 = 0,9139

حد الفترة

U = 74,5 + 0,9139 = 75,41

الإجابة

U = 75,41

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9464

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 387/6 = 64,5

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 233

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 819,5

معامل التحديد

r² = 233²/(70·819,5) = 0,9464

الإجابة

r² = 0,9464

نحو 94,64% من التباين في y يفسّره الخط.

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 9,182

المتوسطات

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 80/5 = 16

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 88

خط الانحدار

b = 88/40 = 2,2

a = 16 − 2,2·6 = 2,8

ŷ = 2,8 + 2,2·x

حلّ لإيجاد x

x = (23 − 2,8)/2,2 = 9,182

الإجابة

x = 9,182

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1