مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 47, 36, 54, 37, 15.

n = 5

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 12. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 94.

μ = 70σ = 12x = 94

z =

3.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,05, 0,25, 0,35, 0,35

Var(X) =

4.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €5 للمشاركة. تربح €25 باحتمال 0,25 و€50 باحتمال 0,02؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €5€25: p = 0,25€50: p = 0,02

E(G) = €

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

X طبيعي بمتوسط 250 g وانحراف معياري 4 g؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 500 g وانحراف معياري 9 g. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 759,8 g. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 759,8 g

P =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أوزان الأكياس توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 10% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 250 gσ = 5 g10%

x = g

7.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 13 مفردة متوسطها 34 وانحرافها المعياري s = 6,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 90% للمتوسط.

n = 13x̄ = 34s = 6,590%t(12) = 1,782

E =

8.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 22. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للمتوسط 1,5 على الأكثر؟

σ = 22E = 1,595%

n =

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

تُقارن طريقتا تدريس. المجموعة 1: 6 طالبًا، متوسط الدرجة 112، الانحراف المعياري 11. المجموعة 2: 11 طالبًا، متوسط الدرجة 129,3، الانحراف المعياري 9,5. افترض تساوي تبايني المجتمعين واستخدم اختبار t المجمَّع لعينتين. أوجد إحصائية الاختبار t للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (المجموعة 1 ناقص المجموعة 2).

n₁ = 6x̄₁ = 112s₁ = 11n₂ = 11x̄₂ = 129,3s₂ = 9,5

t =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 49 قياسًا متوسطها 75,7. الانحراف المعياري للمجتمع 4. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 95% للمتوسط.

x̄ = 75,7σ = 4n = 4995%

U =

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 5Σx = 25Σy = 227Σx² = 135Σy² = 10501Σxy = 1175

r =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 78؟

n = 6ŷ = 78

x =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 14,75

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 189/5 = 37,8

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 9,2² + (−1,8)² + 16,2² + (−0,8)² + (−22,8)² = 870,8

الانحراف المعياري

s = √(870,8/4) = 14,75

الإجابة

s = 14,75

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 2

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (94 − 70)/12 = 2

الإجابة

z = 2

3.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 0,8

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,05 + 1·0,25 + 2·0,35 + 3·0,35 = 2

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,05 + 1·0,25 + 4·0,35 + 9·0,35 = 4,8

التباين

Var(X) = 4,8 − 2² = 0,8

الإجابة

Var(X) = 0,8

4.الاحتمال

الإجابة: E(G) = 2,25 €

النتائج الصافية

G: 20 (p = 0,25), 45 (p = 0,02), −5 (p = 0,73)

القيمة المتوقعة

E(G) = 20·0,25 + 45·0,02 − 5·0,73 = 2,25 €

الإجابة

E(G) = 2,25 €

القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,1587

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (759,8 − 750)/9,849 = 1

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587

الإجابة

P = 0,1587

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 243,6 g

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,1

z من الجدول

z ≈ −1,28

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 250 − 1,28·5 = 243,6 g

الإجابة

x = 243,6 g

7.فترات الثقة

الإجابة: E = 3,213

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 12, t = 1,782

هامش الخطأ

E = 1,782·6,5/√13 = 3,213

الإجابة

E = 3,213

8.فترات الثقة

الإجابة: n = 827

حُلّ لإيجاد n

n = (1,96·22/1,5)² = 826,4

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 827

الإجابة

n = 827

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −3,4

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

التباين المجمَّع

s_p² = (5·11² + 10·9,5²)/15 = 100,5

s_p = 10,02

الخطأ المعياري

SE = 10,02·√(1/6 + 1/11) = 5,088

إحصائية الاختبار

t = (112 − 129,3)/5,088 = −3,4

الإجابة

t = −3,4

مع df = 15، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,131؛ و|t| أكبر، لذا تُرفض H₀.

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: U = 76,82

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

هامش الخطأ

E = 1,96·4/√49 = 1,12

حد الفترة

U = 75,7 + 1,12 = 76,82

الإجابة

U = 76,82

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9054

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 1175 − 25·227/5 = 40

S_xx = 135 − 25²/5 = 10

S_yy = 10501 − 227²/5 = 195,2

معامل الارتباط

r = 40/√(10·195,2) = 0,9054

الإجابة

r = 0,9054

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 6,19

المتوسطات

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 462/6 = 77

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 368

خط الانحدار

b = 368/70 = 5,257

a = 77 − 5,257·6 = 45,46

ŷ = 45,46 + 5,257·x

حلّ لإيجاد x

x = (78 − 45,46)/5,257 = 6,19

الإجابة

x = 6,19

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1