مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط
x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط
القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z
z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي
68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم
P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z
z = (x − μ)/σ
أقل من x
P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين
Φ(z2) − Φ(z1)
المئين
x = μ + z·σ

الطريقة

  1. حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
  2. ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
  3. للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
  4. للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة
x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة
n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

  1. اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
  2. أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
  3. هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
  4. الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%
ارفض H0 إذا |z| > 1,96
فترة الثقة
x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

  1. اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
  2. احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
  3. قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
  4. ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل
b = Sxy/Sxx
المقطع
a = ȳ − b·x̄
الارتباط
r = Sxy/√(SxxSyy)
البُواقي
e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة
2022242628303234

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 32, 20, 21, 35, 29.

n = 5
s =
2.الإحصاء الوصفيصعبة
z −2−1012

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 5. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 176,3.

μ = 170σ = 5x = 176,3
z =
3.الاحتمالمتوسطة
حمراء: 3زرقاء: 3

يحتوي كيس على 3 كرات حمراء و3 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟

3 / 3
P =
4.الاحتمالصعبة
n = 9, p = 0,25: P(X ≤ 1) = ?k0123456789

يُختبر 9 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,25. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟

n = 9p = 0,25
P =
5.التوزيع الطبيعيمتوسطة
1020 kg978,4 kgT = X₁ + … + X₁₂?

كتل الركاب مع أمتعتهم مستقلة وطبيعية بمتوسط 85 kg وانحراف معياري 12 kg. أوجد الاحتمال P بأن تقل الكتلة الكلية لـ 12 منها عن 978,4 kg. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 12< 978.4 kg
P =
6.التوزيع الطبيعيصعبة
380420460500540580620hالأعلى 60%

تتوزع أعمار البطاريات توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأعلى 60% على يمينه. أوجد حد القطع x.

μ = 500 hσ = 40 h60%
x = h
7.فترات الثقةمتوسطة
n = 12, s = 18,5L = ?Ux̄ = 20,5E99%

عينة من 12 مفردة متوسطها 20,5 وانحرافها المعياري s = 18,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 99% للمتوسط.

n = 12x̄ = 20,5s = 18,599%t(11) = 3,106
الحد الأدنى =
8.فترات الثقةصعبة
p = 0,5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0,0499%

لا يُعرف شيء مسبقًا عن نسبة المنتجات المعيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للنسبة 0,04 على الأكثر؟

p = 0,5E = 0,0499%
n =
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
t −2,0302,03

عينة من 36 طالبًا متوسط درجاتها 197 وانحرافها المعياري 10. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 197s = 10n = 36
t =
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
z −2,57602,576

عينة من 16 قياسًا متوسطها 193,5. الانحراف المعياري للمجتمع 20. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 99% للمتوسط.

x̄ = 193,5σ = 20n = 1699%
L =
11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
xy124224320419519xy24202224

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 5
r =
12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
xy264126178201026xy5101020ŷ = 9

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 9؟

n = 5ŷ = 9
x =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 6,656

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 137/5 = 27,4

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 4,6² + (−7,4)² + (−6,4)² + 7,6² + 1,6² = 177,2

الانحراف المعياري

s = √(177,2/4) = 6,656

الإجابة

s = 6,656
2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 1,25

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (176,3 − 170)/5 = 1,25

الإجابة

z = 1,25
3.الاحتمال

الإجابة: P = 0,2

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

السحبة الأولى والثانية

P = 3/6 · 2/5 = 6/30 = 0,2

الإجابة

P = 0,2
4.الاحتمال

الإجابة: P = 0,3003

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صفر وعطل واحد

P(X = 0) = 0,759 = 0,07508
P(X = 1) = 9·0,25·0,758 = 0,2253

اجمعها

P = 0,07508 + 0,2253 = 0,3003

الإجابة

P = 0,3003
5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,1587

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μT = 1020 kg, σT = 12·√12 = 41,57 kg

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (978,4 − 1020)/41,57 = −1

الاحتمال

P = Φ(−1) = 0,1587

الإجابة

P = 0,1587
6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 490 h

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,4

z من الجدول

z ≈ −0,25

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 500 − 0,25·40 = 490 h

الإجابة

x = 490 h
7.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 3,912

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 11, t = 3,106

هامش الخطأ

E = 3,106·18,5/√12 = 16,59

الفترة

20,5 ± 16,59 → [3,912, 37,09]

الإجابة

الحد الأدنى = 3,912
8.فترات الثقة

الإجابة: n = 1037

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,04² = 1037

قرّب إلى الأعلى

n = 1037

الإجابة

n = 1037
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −1,8

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667

إحصائية الاختبار

t = (197 − 200)/1,667 = −1,8

الإجابة

t = −1,8
t0,025; df = 35 = 2,03

|t| < 2.03، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: L = 180,6

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

هامش الخطأ

E = 2,576·20/√16 = 12,88

حد الفترة

L = 193,5 − 12,88 = 180,6

الإجابة

L = 180,6
11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = −0,9163

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 106/5 = 21,2

مجاميع المربعات والضروب

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −15
Syy = Σ(y − ȳ)² = 26,8

معامل الارتباط

r = −15/√(10·26,8) = −0,9163

الإجابة

r = −0,9163
12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 3

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 81/5 = 16,2

مجاميع المربعات والضروب

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 96

خط الانحدار

b = 96/40 = 2,4
a = 16,2 − 2,4·6 = 1,8
ŷ = 1,8 + 2,4·x

حلّ لإيجاد x

x = (9 − 1,8)/2,4 = 3

الإجابة

x = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1