مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 26, 53, 52, 48, 17.

n = 5

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 15. ما نسبة P القيم الأقل من 32؟

μ = 50σ = 15x = 32

P =

3.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

Var(X) =

4.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €3 للمشاركة. تربح €9 باحتمال 0,1 و€30 باحتمال 0,05؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €3€9: p = 0,1€30: p = 0,05

E(G) = €

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

X طبيعي بمتوسط 120 mm وانحراف معياري 0,3 mm؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 80 mm وانحراف معياري 0,4 mm. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 200,3 mm. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 200,3 mm

P =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

كتلة منتج X من الخط 1 وY من الخط 2 مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 500 g وانحراف معياري 8 g، ولـ Y متوسط 490 g وانحراف معياري 6 g. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

7.فترات الثقةمتوسطة

فترة ثقة 99% لمتوسط، مبنية على 100 مشاهدة و σ معلومة، لها هامش خطأ 9,2. ما هامش الخطأ E₂ لفترة 95% مبنية على 400 مشاهدة؟

99%n₁ = 100E₁ = 9,295%n₂ = 400

E₂ =

8.فترات الثقةصعبة

لأقطار 15 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 8,4 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأدنى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 14، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 5,629 و 2,5% فوق 26,119.

n = 15s = 8,4 µmχ² = 5,629, 26,119

σ = µm

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

خطّا إنتاج يصنعان الجزء نفسه. الخط 1: عينة من 30 جزءًا متوسط طولها 45,5 mm، والانحراف المعياري المعلوم للخط 3 mm. الخط 2: عينة من 40 جزءًا متوسطها 42,9 mm، والانحراف المعياري المعلوم 13 mm. أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (الخط 1 ناقص الخط 2).

n₁ = 30x̄₁ = 45,5 mmσ₁ = 3 mmn₂ = 40x̄₂ = 42,9 mmσ₂ = 13 mm

z =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

في تجربة سريرية، تعافى 83 من 150 مريضًا على العلاج A، و 50 من 80 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 83n₁ = 150x₂ = 50n₂ = 80

z =

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 5

r² =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 124؟

n = 6ŷ = 124

x =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 16,57

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 196/5 = 39,2

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−13,2)² + 13,8² + 12,8² + 8,8² + (−22,2)² = 1099

الانحراف المعياري

s = √(1099/4) = 16,57

الإجابة

s = 16,57

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,1151

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −1,2

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 0,1151

الإجابة

P = 0,1151

3.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 0,6475

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

التباين

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

الإجابة

Var(X) = 0,6475

4.الاحتمال

الإجابة: E(G) = −0,6 €

النتائج الصافية

G: 6 (p = 0,1), 27 (p = 0,05), −3 (p = 0,85)

القيمة المتوقعة

E(G) = 6·0,1 + 27·0,05 − 3·0,85 = −0,6 €

الإجابة

E(G) = −0,6 €

القيمة السالبة تعني أنك تخسر مالًا في المتوسط.

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,2743

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (200,3 − 200)/0,5 = 0,6

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(0,6) = 1 − 0,7257 = 0,2743

الإجابة

P = 0,2743

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,8413

توزيع الفرق

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 10)/10 = −1

الاحتمال

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

الإجابة

P = 0,8413

7.فترات الثقة

الإجابة: E₂ = 3,5

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

نسبة الهامشين

E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(100/400) = 0,3804

الهامش الجديد

E₂ = 9,2·0,3804 = 3,5

الإجابة

E₂ = 3,5

8.فترات الثقة

الإجابة: σ = 6,15 µm

فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.

مجموع المربعات

(n − 1)s² = 14·8,4² = 987,8

حدّا σ²

987,8/26,119 = 37,82

987,8/5,629 = 175,5

حدّ σ

σ = √37,82 = 6,15 µm

الإجابة

σ = 6,15 µm

فترة 95% لـ σ: [6,15, 13,25] µm.

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = 1,222

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

الخطأ المعياري للفرق

SE = √(3²/30 + 13²/40) = √4,525 = 2,127

إحصائية الاختبار

z = (45,5 − 42,9)/2,127 = 1,222

الإجابة

z = 1,222

|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = −1,048

نسبتا العينتين

p̂₁ = 83/150 = 0,5533

p̂₂ = 50/80 = 0,625

p̂ = 133/230 = 0,5783

الخطأ المعياري وفق H₀

SE = √(0,5783·0,4217·(1/150 + 1/80)) = 0,06837

إحصائية الاختبار

z = (0,5533 − 0,625)/0,06837 = −1,048

الإجابة

z = −1,048

|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,8681

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 94/5 = 18,8

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 50,8

معامل التحديد

r² = −21²/(10·50,8) = 0,8681

الإجابة

r² = 0,8681

نحو 86,81% من التباين في y يفسّره الخط.

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 28,52

المتوسطات

x̄ = 153/6 = 25,5

ȳ = 659/6 = 109,8

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 739,5

خط الانحدار

b = 739,5/157,5 = 4,695

a = 109,8 − 4,695·25,5 = −9,895

ŷ = −9,895 + 4,695·x

حلّ لإيجاد x

x = (124 − (−9,895))/4,695 = 28,52

الإجابة

x = 28,52

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1