مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 52, 26, 19, 10, 20, 46, 17.

n = 7

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 10. ما نسبة P القيم الأكبر من 38؟

μ = 50σ = 10x = 38

P =

3.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,05, 0,3, 0,25, 0,1, 0,3

Var(X) =

4.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €1 للمشاركة. تربح €5 باحتمال 0,15 و€10 باحتمال 0,01؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €1€5: p = 0,15€10: p = 0,01

E(G) = €

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

X طبيعي بمتوسط 60 s وانحراف معياري 5 s؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 45 s وانحراف معياري 4 s. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 108,2 s. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 108,2 s

P =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,03 mm وانحراف معياري 0,02 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,02 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

الثقب: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.فترات الثقةمتوسطة

يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 100 هاتفًا، المتوسط 107,5 h، الانحراف المعياري المعلوم 10 h. الطراز 2: 100 هاتفًا، المتوسط 92,5 h، الانحراف المعياري المعلوم 18 h. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 95% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 107,5 hσ₁ = 10 hn₂ = 100x̄₂ = 92,5 hσ₂ = 18 h95%

الحد الأعلى = h

8.فترات الثقةصعبة

لا يُعرف شيء مسبقًا عن نسبة المنتجات المعيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للنسبة 0,01 على الأكثر؟

p = 0,5E = 0,0195%

n =

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يُزعم أن متوسط مجتمع ما 250؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 12. متوسط عينة عشوائية من 36 مشاهدة هو 252,52. اختبر H₀: μ = 250 مقابل H₁: μ ≠ 250. أوجد القيمة الاحتمالية p.

μ₀ = 250σ = 12n = 36x̄ = 252,52H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,01 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 5 وحدة بقوة 90%. الانحراف المعياري 14. أوجد أصغر حجم عينة n.

α = 0,01القوة = 90%δ = 5σ = 14z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 5

r =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 4,5.

n = 5x = 4,5

ŷ =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 15,75

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 190/7 = 27,14

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 24,86² + (−1,143)² + (−8,143)² + (−17,14)² + (−7,143)² + 18,86² + (−10,14)² = 1489

الانحراف المعياري

s = √(1489/6) = 15,75

الإجابة

s = 15,75

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,8849

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −1,2

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

الإجابة

P = 0,8849

3.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 1,71

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 1·0,05 + 2·0,3 + 3·0,25 + 4·0,1 + 5·0,3 = 3,3

متوسط المربعات

E(X²) = 1·0,05 + 4·0,3 + 9·0,25 + 16·0,1 + 25·0,3 = 12,6

التباين

Var(X) = 12,6 − 3,3² = 1,71

الإجابة

Var(X) = 1,71

4.الاحتمال

الإجابة: E(G) = −0,15 €

النتائج الصافية

G: 4 (p = 0,15), 9 (p = 0,01), −1 (p = 0,84)

القيمة المتوقعة

E(G) = 4·0,15 + 9·0,01 − 1·0,84 = −0,15 €

الإجابة

E(G) = −0,15 €

القيمة السالبة تعني أنك تخسر مالًا في المتوسط.

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,3085

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (108,2 − 105)/6,403 = 0,5

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085

الإجابة

P = 0,3085

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,8554

توزيع الفرق

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02828 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 0,03)/0,02828 = −1,06

الاحتمال

P = 1 − Φ(−1,06) = 0,8554

الإجابة

P = 0,8554

7.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 19,04 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

التقدير النقطي

x̄₁ − x̄₂ = 107,5 − 92,5 = 15

الخطأ المعياري

SE = √(10²/100 + 18²/100) = 2,059

هامش الخطأ

E = 1,96·2,059 = 4,036

الفترة

15 ± 4,036 → [10,96, 19,04]

الإجابة

الحد الأعلى = 19,04 h

الفترة لا تحتوي على 0، لذا يختلف المتوسطان اختلافًا دالًّا إحصائيًا.

8.فترات الثقة

الإجابة: n = 9604

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 1,96²·0,5·0,5/0,01² = 9604

قرّب إلى الأعلى

n = 9604

الإجابة

n = 9604

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: p = 0,2077

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

إحصائية الاختبار

SE = σ/√n = 12/√36 = 2

z = (252,52 − 250)/2 = 1,26

مساحة الذيل

Φ(1,26) = 0,8962

1 − Φ(1,26) = 0,1038

القيمة الاحتمالية

p = 2·0,1038 = 0,2077

الإجابة

p = 0,2077

p > 0,05، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 103

حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = ((2,326 + 1,282)·14/5)² = 102,1

قرّب إلى الأعلى

n = 103

الإجابة

n = 103

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = −0,9061

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 118/5 = 23,6

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 35,2

معامل الارتباط

r = −17/√(10·35,2) = −0,9061

الإجابة

r = −0,9061

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 15,35

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 97/5 = 19,4

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27

خط الانحدار

b = −27/10 = −2,7

a = 19,4 − (−2,7)·3 = 27,5

ŷ = 27,5 − 2,7·x

التنبؤ

ŷ = 27,5 + (−2,7)·4,5 = 15,35

الإجابة

ŷ = 15,35

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1