مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 52, 26, 20, 50, 13, 13, 22.

n = 7

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 12. ما نسبة P القيم الأكبر من 62؟

μ = 50σ = 12x = 62

P =

3.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,25, 0,3, 0,2, 0,05

Var(X) =

4.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 10X + 4. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,05, 0,35, 0,3, 0,3Y = 10X + 4

σ_Y =

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. ما النسبة التي تقع بين 85,75 و 123,25 درجة؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 100σ = 15x₁ = 85,75x₂ = 123,25

P =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 20% منها (المئين 20).

μ = 100σ = 15P = 20%

x = درجة

7.فترات الثقةمتوسطة

يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 30 هاتفًا، المتوسط 107 h، الانحراف المعياري المعلوم 11 h. الطراز 2: 60 هاتفًا، المتوسط 119 h، الانحراف المعياري المعلوم 12 h. أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 99% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 107 hσ₁ = 11 hn₂ = 60x̄₂ = 119 hσ₂ = 12 h99%

E = h

8.فترات الثقةصعبة

لأقطار 30 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 9,1 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأعلى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 29، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 16,047 و 2,5% فوق 45,722.

n = 30s = 9,1 µmχ² = 16,047, 45,722

σ = µm

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 81 طالبًا متوسط درجاتها 46,89 وانحرافها المعياري 20. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 46,89s = 20n = 81

t =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,01 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 3 وحدة بقوة 90%. الانحراف المعياري 12. أوجد أصغر حجم عينة n.

α = 0,01القوة = 90%δ = 3σ = 12z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 5Σx = 20Σy = 364Σx² = 90Σy² = 26856Σxy = 1510

r =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 3.

n = 5x = 3

ŷ =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 16,4

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 196/7 = 28

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 24² + (−2)² + (−8)² + 22² + (−15)² + (−15)² + (−6)² = 1614

الانحراف المعياري

s = √(1614/6) = 16,4

الإجابة

s = 16,4

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,1587

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 1

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

الإجابة

P = 0,1587

3.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 1,327

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,2 + 1·0,25 + 2·0,3 + 3·0,2 + 4·0,05 = 1,65

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,25 + 4·0,3 + 9·0,2 + 16·0,05 = 4,05

التباين

Var(X) = 4,05 − 1,65² = 1,327

الإجابة

Var(X) = 1,327

4.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 90,97

تشتت X

μ = 28,5, Var(X) = 82,75, σ_X = 9,097

التغيير الخطي

σ_Y = |10|·9,097 = 90,97

الإجابة

σ_Y = 90,97

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 10·28,5 + 4 = 289.

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7684

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (85,75 − 100)/15 = −0,95

z₂ = (123,25 − 100)/15 = 1,55

المساحة بين القيمتين

P = Φ(1,55) − Φ(−0,95) = 0,9394 − 0,1711 = 0,7684

الإجابة

P = 0,7684

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 87,38 درجة

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

العودة إلى x

x = 100 + −0,8416·15 = 87,38 درجة

الإجابة

x = 87,38 درجة

7.فترات الثقة

الإجابة: E = 6,534 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

التقدير النقطي

x̄₁ − x̄₂ = 107 − 119 = −12

الخطأ المعياري

SE = √(11²/30 + 12²/60) = 2,536

هامش الخطأ

E = 2,576·2,536 = 6,534

الإجابة

E = 6,534 h

الفترة لا تحتوي على 0، لذا يختلف المتوسطان اختلافًا دالًّا إحصائيًا.

8.فترات الثقة

الإجابة: σ = 12,23 µm

فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.

مجموع المربعات

(n − 1)s² = 29·9,1² = 2401

حدّا σ²

2401/45,722 = 52,52

2401/16,047 = 149,7

حدّ σ

σ = √149,7 = 12,23 µm

الإجابة

σ = 12,23 µm

فترة 95% لـ σ: [7,247, 12,23] µm.

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −1,399

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222

إحصائية الاختبار

t = (46,89 − 50)/2,222 = −1,399

الإجابة

t = −1,399

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 209

حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = ((2,326 + 1,282)·12/3)² = 208,3

قرّب إلى الأعلى

n = 209

الإجابة

n = 209

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,904

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 1510 − 20·364/5 = 54

S_xx = 90 − 20²/5 = 10

S_yy = 26856 − 364²/5 = 356,8

معامل الارتباط

r = 54/√(10·356,8) = 0,904

الإجابة

r = 0,904

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 10,05

المتوسطات

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 99/5 = 19,8

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 130

خط الانحدار

b = 130/40 = 3,25

a = 19,8 − 3,25·6 = 0,3

ŷ = 0,3 + 3,25·x

التنبؤ

ŷ = 0,3 + 3,25·3 = 10,05

الإجابة

ŷ = 10,05

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1