مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 48, 30, 51, 49, 41, 44.

n = 6

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 15. ما نسبة P القيم الأقل من 80؟

μ = 50σ = 15x = 80

P =

3.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,3, 0,1, 0,3

σ =

4.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 3X + 5. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,1, 0,35, 0,25Y = 3X + 5

σ_Y =

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,9051. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,9051

z =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,05 mm وانحراف معياري 0,02 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,02 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

الثقب: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 30 مفردة متوسطها 104,5 وانحرافها المعياري s = 11,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 95% للمتوسط.

n = 30x̄ = 104,5s = 11,595%t(29) = 2,045

E =

8.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 23. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للمتوسط 1,5 على الأكثر؟

σ = 23E = 1,599%

n =

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يجري 13 موظفًا اختبار طباعة قبل دورة تدريبية وبعدها. لكل شخص يُسجَّل الفرق d = بعد − قبل (كلمة في الدقيقة). متوسط الفروق −2,53 والانحراف المعياري للفروق 7,6. أوجد إحصائية الاختبار المزدوج t للفرضية H₀: μ_d = 0.

n = 13d̄ = −2,53s_d = 7,6

t =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,05 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 1,5 وحدة بقوة 90%. الانحراف المعياري 10. أوجد أصغر حجم عينة n.

α = 0,05القوة = 90%δ = 1,5σ = 10z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 6

r =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (25,5, 122). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 5(25,5, 122)

e =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 7,679

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 263/6 = 43,83

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 4,167² + (−13,83)² + 7,167² + 5,167² + (−2,833)² + 0,1667² = 294,8

الانحراف المعياري

s = √(294,8/5) = 7,679

الإجابة

s = 7,679

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,9772

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 2

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

الإجابة

P = 0,9772

3.الاحتمال

الإجابة: σ = 1,2

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,3 + 1·0,3 + 2·0,1 + 3·0,3 = 1,4

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,3 + 4·0,1 + 9·0,3 = 3,4

التباين

Var(X) = 3,4 − 1,4² = 1,44

σ = √1,44 = 1,2

الإجابة

σ = 1,2

4.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 3,482

تشتت X

μ = 1,55, Var(X) = 1,348, σ_X = 1,161

التغيير الخطي

σ_Y = |3|·1,161 = 3,482

الإجابة

σ_Y = 3,482

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 3·1,55 + 5 = 9,65.

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 1,67

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,9051)/2 = 0,9525

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,9525 داخل الجدول واقرأ z.

z = 1,67

الإجابة

z = 1,67

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9616

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02828 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 0,05)/0,02828 = −1,77

الاحتمال

P = 1 − Φ(−1,77) = 0,9616

الإجابة

P = 0,9616

7.فترات الثقة

الإجابة: E = 4,294

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 29, t = 2,045

هامش الخطأ

E = 2,045·11,5/√30 = 4,294

الإجابة

E = 4,294

8.فترات الثقة

الإجابة: n = 1561

حُلّ لإيجاد n

n = (2,576·23/1,5)² = 1560

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 1561

الإجابة

n = 1561

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −1,2

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

الخطأ المعياري لمتوسط الفروق

SE = 7,6/√13 = 2,108

إحصائية الاختبار

t = −2,53/2,108 = −1,2

الإجابة

t = −1,2

مع df = 12، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,179؛ و|t| أصغر، لذا لا تُرفض H₀.

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 381

حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = ((1,645 + 1,282)·10/1,5)² = 380,8

قرّب إلى الأعلى

n = 381

الإجابة

n = 381

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9975

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 145/6 = 24,17

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 235

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 792,8

معامل الارتباط

r = 235/√(70·792,8) = 0,9975

الإجابة

r = 0,9975

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = −3,75

المتوسطات

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 591/5 = 118,2

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 453

خط الانحدار

b = 453/90 = 5,033

a = 118,2 − 5,033·24 = −2,6

ŷ = −2,6 + 5,033·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = −2,6 + 5,033·25,5 = 125,8

البُواقي

e = 122 − 125,8 = −3,75

الإجابة

e = −3,75

تقع النقطة تحت الخط.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1