الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
2مسائل تدريبية
1.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 56, 25, 22, 55, 47, 20, 39.
n = 7
s =
2.الإحصاء الوصفيصعبة
درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 50. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 600.
μ = 500σ = 50x = 600
z =
3.الاحتمالمتوسطة
للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3
σ =
4.الاحتمالصعبة
يحتوي اختبار على 7 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,1، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 5 إجابات صحيحة بالضبط؟
n = 7p = 0,1k = 5
P =
5.التوزيع الطبيعيمتوسطة
X طبيعي بمتوسط 60 s وانحراف معياري 5 s؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 45 s وانحراف معياري 4 s. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 114,6 s. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 114,6 s
P =
6.التوزيع الطبيعيصعبة
أعمار البطاريات موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 97,5% منها (المئين 97,5).
μ = 500σ = 40P = 97,5%
x = h
7.فترات الثقةمتوسطة
فترة ثقة 90% لمتوسط، مبنية على 50 مشاهدة و σ معلومة، لها هامش خطأ 1. ما هامش الخطأ E₂ إذا استخدمت الدراسة نفسها 450 مشاهدة بدلًا من ذلك؟
90%n₁ = 50E₁ = 1n₂ = 450
E₂ =
8.فترات الثقةصعبة
لا يُعرف شيء مسبقًا عن نسبة المنتجات المعيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للنسبة 0,02 على الأكثر؟
p = 0,5E = 0,0295%
n =
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 36 طالبًا متوسط درجاتها 93,8 وانحرافها المعياري 12. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 93,8s = 12n = 36
t =
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 500 مقابل H₁: μ < 500 عند α = 0.10 بعينة من 25؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 5. في الواقع المتوسط 498.5. أوجد احتمال الخطأ من النوع الثاني β بالنسبة المئوية.
μ₀ = 500μ = 498,5σ = 5n = 25α = 0,10
β = %
11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.
n = 6Σx = 27Σy = 290Σx² = 139Σy² = 14872Σxy = 1426
r =
12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 2,5.
n = 6x = 2,5
ŷ =
3المحاليل
1.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 15,51
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 264/7 = 37,71
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = 18,29² + (−12,71)² + (−15,71)² + 17,29² + 9,286² + (−17,71)² + 1,286² = 1443
الانحراف المعياري
s = √(1443/6) = 15,51
الإجابة
s = 15,51
2.الإحصاء الوصفي
الإجابة: z = 2
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (600 − 500)/50 = 2
الإجابة
z = 2
3.الاحتمال
الإجابة: σ = 0,8047
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
المتوسط
μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95
متوسط المربعات
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55
التباين
Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475
σ = √0,6475 = 0,8047
الإجابة
σ = 0,8047
4.الاحتمال
الإجابة: P = 0,0001701
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صيغة ذي الحدين
P(X = 5) = 21·0,15·0,92 = 21·1 × 10⁻⁵·0,81 = 0,0001701
الإجابة
P = 0,0001701
5.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,06681
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
توزيع المجموع
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (114,6 − 105)/6,403 = 1,5
الذيل العلوي
P = 1 − Φ(1,5) = 1 − 0,9332 = 0,06681
الإجابة
P = 0,06681
6.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 578,4 h
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
قيمة z للمئين
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
العودة إلى x
x = 500 + 1,96·40 = 578,4 h
الإجابة
x = 578,4 h
7.فترات الثقة
الإجابة: E₂ = 0,3333
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
نسبة الهامشين
E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(50/450) = 0,3333
الهامش الجديد
E₂ = 1·0,3333 = 0,3333
الإجابة
E₂ = 0,3333
8.فترات الثقة
الإجابة: n = 2401
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
حُلّ لإيجاد n
n = 1,96²·0,5·0,5/0,02² = 2401
قرّب إلى الأعلى
n = 2401
الإجابة
n = 2401
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = −3,1
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 12/√36 = 12/6 = 2
إحصائية الاختبار
t = (93,8 − 100)/2 = −3,1
الإجابة
t = −3,1
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: β = 41,37 %
قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
متوسط العينة الحرج
SE = 5/√25 = 1
x̄c = 500 − 1,282·1 = 498,7
z وفق المتوسط الحقيقي
z = (498,7 − 498,5)/1 = 0,218
الخطأ من النوع الثاني
القوة = P(Z < 0.218) = 58.63%
β = 100% − 58,63% = 41,37%
الإجابة
β = 41,37%
11.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = 0,989
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المجاميع الممركَزة
Sxy = 1426 − 27·290/6 = 121
Sxx = 139 − 27²/6 = 17,5
Syy = 14872 − 290²/6 = 855,3
معامل الارتباط
r = 121/√(17,5·855,3) = 0,989
الإجابة
r = 0,989
12.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: ŷ = 20,25
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 104/6 = 17,33
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −51
خط الانحدار
b = −51/17,5 = −2,914
a = 17,33 − (−2,914)·3,5 = 27,53
ŷ = 27,53 − 2,914·x
التنبؤ
ŷ = 27,53 + (−2,914)·2,5 = 20,25
الإجابة
ŷ = 20,25
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1