مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 13, 44, 41, 21, 38, 38.

n = 6

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 60. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 620.

μ = 500σ = 60x = 620

z =

3.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,2, 0,35, 0,3

Var(X) =

4.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €10 للمشاركة. تربح €50 باحتمال 0,2 و€500 باحتمال 0,02؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €10€50: p = 0,2€500: p = 0,02

E(G) = €

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,5161. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,5161

z =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,04 mm وانحراف معياري 0,01 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,02 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

الثقب: μ = 25,04 mm, σ = 0,01 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.فترات الثقةمتوسطة

يُقاس ضغط الدم لـ 8 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها 8 وانحرافها المعياري 1,6. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 90% لمتوسط الفروق.

n = 8d̄ = 8s_d = 1,690%t(7) = 1,895

الحد الأعلى = mmHg

8.فترات الثقةصعبة

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 7 قطعة، متوسط المحصول 87,5 kg، الانحراف المعياري 7,5 kg. مجموعة القطع 2: 24 قطعة، المتوسط 92,5 kg، الانحراف المعياري 2,5 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 99% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 87,5s₁ = 7,5n₂ = 24x̄₂ = 92,5s₂ = 2,599%t(29) = 2,756

الحد الأعلى = kg

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

خطّا إنتاج يصنعان الجزء نفسه. الخط 1: عينة من 40 جزءًا متوسط طولها 127,5 mm، والانحراف المعياري المعلوم للخط 17 mm. الخط 2: عينة من 80 جزءًا متوسطها 135,4 mm، والانحراف المعياري المعلوم 19 mm. أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (الخط 1 ناقص الخط 2).

n₁ = 40x̄₁ = 127,5 mmσ₁ = 17 mmn₂ = 80x̄₂ = 135,4 mmσ₂ = 19 mm

z =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 50 مقابل H₁: μ < 50 عند α = 0.10 بعينة من 25؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 12.5. في الواقع المتوسط 43. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.

μ₀ = 50μ = 43σ = 12,5n = 25α = 0,10

1 − β = %

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 6

r =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 21؟

n = 5ŷ = 21

x =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 12,47

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 195/6 = 32,5

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−19,5)² + 11,5² + 8,5² + (−11,5)² + 5,5² + 5,5² = 777,5

الانحراف المعياري

s = √(777,5/5) = 12,47

الإجابة

s = 12,47

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 2

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (620 − 500)/60 = 2

الإجابة

z = 2

3.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 106

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 10·0,15 + 20·0,2 + 30·0,35 + 40·0,3 = 28

متوسط المربعات

E(X²) = 100·0,15 + 400·0,2 + 900·0,35 + 1600·0,3 = 890

التباين

Var(X) = 890 − 28² = 106

الإجابة

Var(X) = 106

4.الاحتمال

الإجابة: E(G) = 10 €

النتائج الصافية

G: 40 (p = 0,2), 490 (p = 0,02), −10 (p = 0,78)

القيمة المتوقعة

E(G) = 40·0,2 + 490·0,02 − 10·0,78 = 10 €

الإجابة

E(G) = 10 €

القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 0,7

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,5161)/2 = 0,7580

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,7580 داخل الجدول واقرأ z.

z = 0,70

الإجابة

z = 0,70

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9633

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02236 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 0,04)/0,02236 = −1,79

الاحتمال

P = 1 − Φ(−1,79) = 0,9633

الإجابة

P = 0,9633

7.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 9,072 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

القيمة الحرجة

df = 7, t = 1,895

هامش الخطأ

E = 1,895·1,6/√8 = 1,072

الفترة

8 ± 1,072 → [6,928, 9,072]

الإجابة

الحد الأعلى = 9,072 mmHg

8.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = −0,1773 kg

الانحراف المعياري المجمَّع

s_p² = (6·7,5² + 23·2,5²)/29 = 16,59

s_p = 4,074

هامش الخطأ

E = 2,756·4,074·√(1/7 + 1/24) = 4,823

الفترة

−5 ± 4,823 → [−9,823, −0,1773]

الإجابة

الحد الأعلى = −0,1773 kg

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = −2,306

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

الخطأ المعياري للفرق

SE = √(17²/40 + 19²/80) = √11,74 = 3,426

إحصائية الاختبار

z = (127,5 − 135,4)/3,426 = −2,306

الإجابة

z = −2,306

|z| > 1,96، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: 1 − β = 93,55 %

قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

متوسط العينة الحرج

SE = 12,5/√25 = 2,5

x̄_c = 50 − 1,282·2,5 = 46,8

z وفق المتوسط الحقيقي

z = (46,8 − 43)/2,5 = 1,518

القدرة

القوة = P(Z < 1.518) = 93.55%

1 − β = 93,55%

الإجابة

1 − β = 93,55%

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = −0,9403

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 130/6 = 21,67

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −38

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 93,33

معامل الارتباط

r = −38/√(17,5·93,33) = −0,9403

الإجابة

r = −0,9403

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 4,538

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 115/5 = 23

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −13

خط الانحدار

b = −13/10 = −1,3

a = 23 − (−1,3)·3 = 26,9

ŷ = 26,9 − 1,3·x

حلّ لإيجاد x

x = (21 − 26,9)/(−1,3) = 4,538

الإجابة

x = 4,538

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1