مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 58, 10, 10, 42, 17.

n = 5

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 20. ما نسبة P القيم الأقل من 125؟

μ = 100σ = 20x = 125

P =

3.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,35, 0,05, 0,25, 0,05

Var(X) =

4.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 3X + 20. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,25, 0,35, 0,15Y = 3X + 20

σ_Y =

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

كتل الصناديق مستقلة وطبيعية بمتوسط 12 kg وانحراف معياري 0,8 kg. أوجد الاحتمال P بأن تقل الكتلة الكلية لـ 9 منها عن 109,2 kg. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 9< 109.2 kg

P =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

أزمنة التوصيل موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 32 min وانحراف معياري 6 min. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 75% منها (المئين 75).

μ = 32σ = 6P = 75%

x = min

7.فترات الثقةمتوسطة

يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 40 هاتفًا، المتوسط 69 h، الانحراف المعياري المعلوم 10 h. الطراز 2: 60 هاتفًا، المتوسط 79,5 h، الانحراف المعياري المعلوم 4 h. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 95% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 69 hσ₁ = 10 hn₂ = 60x̄₂ = 79,5 hσ₂ = 4 h95%

الحد الأعلى = h

8.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 22. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للمتوسط 3 على الأكثر؟

σ = 22E = 399%

n =

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 81 طالبًا متوسط درجاتها 73,62 وانحرافها المعياري 4. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 73,62s = 4n = 81

t =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

ما حجم العينة اللازم كي يكون هامش الخطأ لفترة الثقة 95% للمتوسط 1,5 على الأكثر؟ الانحراف المعياري 12. أوجد أصغر حجم عينة n.

σ = 12E = 1,595%

n =

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 5

r =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 15؟

n = 5ŷ = 15

x =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 21,58

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 137/5 = 27,4

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 30,6² + (−17,4)² + (−17,4)² + 14,6² + (−10,4)² = 1863

الانحراف المعياري

s = √(1863/4) = 21,58

الإجابة

s = 21,58

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,8944

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 1,25

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

الإجابة

P = 0,8944

3.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 1,64

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,05 + 3·0,25 + 4·0,05 = 1,4

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,05 + 9·0,25 + 16·0,05 = 3,6

التباين

Var(X) = 3,6 − 1,4² = 1,64

الإجابة

Var(X) = 1,64

4.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 3,059

تشتت X

μ = 2,4, Var(X) = 1,04, σ_X = 1,02

التغيير الخطي

σ_Y = |3|·1,02 = 3,059

الإجابة

σ_Y = 3,059

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 3·2,4 + 20 = 27,2.

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,6915

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μ_T = 108 kg, σ_T = 0,8·√9 = 2,4 kg

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (109,2 − 108)/2,4 = 0,5

الاحتمال

P = Φ(0,5) = 0,6915

الإجابة

P = 0,6915

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 36,05 min

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

العودة إلى x

x = 32 + 0,6745·6 = 36,05 min

الإجابة

x = 36,05 min

7.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = −7,24 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

التقدير النقطي

x̄₁ − x̄₂ = 69 − 79,5 = −10,5

الخطأ المعياري

SE = √(10²/40 + 4²/60) = 1,663

هامش الخطأ

E = 1,96·1,663 = 3,26

الفترة

−10,5 ± 3,26 → [−13,76, −7,24]

الإجابة

الحد الأعلى = −7,24 h

الفترة لا تحتوي على 0، لذا يختلف المتوسطان اختلافًا دالًّا إحصائيًا.

8.فترات الثقة

الإجابة: n = 357

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = (2,576·22/3)² = 356,9

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 357

الإجابة

n = 357

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −3,105

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444

إحصائية الاختبار

t = (73,62 − 75)/0,4444 = −3,105

الإجابة

t = −3,105

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 246

حُلّ لإيجاد n

n = (1,96·12/1,5)² = 245,9

قرّب إلى الأعلى

n = 246

الإجابة

n = 246

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9916

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 497/5 = 99,4

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 465

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2443

معامل الارتباط

r = 465/√(90·2443) = 0,9916

الإجابة

r = 0,9916

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 3,077

المتوسطات

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 132/5 = 26,4

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 156

خط الانحدار

b = 156/40 = 3,9

a = 26,4 − 3,9·6 = 3

ŷ = 3 + 3,9·x

حلّ لإيجاد x

x = (15 − 3)/3,9 = 3,077

الإجابة

x = 3,077

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1