مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 10, 45, 42, 21, 42, 12, 10.

n = 7

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 8. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 86.

μ = 70σ = 8x = 86

z =

3.الاحتمالمتوسطة

يُرمى حجر نرد منتظم 8 مرات. ما احتمال P الحصول على ستة واحدة على الأقل؟

n = 8

P =

4.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €5 للمشاركة. تربح €15 باحتمال 0,1 و€250 باحتمال 0,01؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €5€15: p = 0,1€250: p = 0,01

E(G) = €

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,3669. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,3669

z =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

أطوال الرجال X وأطوال النساء Y في مجموعة مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 180 cm وانحراف معياري 10 cm، ولـ Y متوسط 170 cm وانحراف معياري 12 cm. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

7.فترات الثقةمتوسطة

يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 60 هاتفًا، المتوسط 74,5 h، الانحراف المعياري المعلوم 17 h. الطراز 2: 60 هاتفًا، المتوسط 60 h، الانحراف المعياري المعلوم 10 h. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 99% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 74,5 hσ₁ = 17 hn₂ = 60x̄₂ = 60 hσ₂ = 10 h99%

الحد الأعلى = h

8.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 22. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للمتوسط 1,5 على الأكثر؟

σ = 22E = 1,595%

n =

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يجري 11 موظفًا اختبار طباعة قبل دورة تدريبية وبعدها. لكل شخص يُسجَّل الفرق d = بعد − قبل (كلمة في الدقيقة). متوسط الفروق 1,94 والانحراف المعياري للفروق 4,6. أوجد إحصائية الاختبار المزدوج t للفرضية H₀: μ_d = 0.

n = 11d̄ = 1,94s_d = 4,6

t =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

ما حجم العينة اللازم كي يكون هامش الخطأ لفترة الثقة 99% للمتوسط 1 على الأكثر؟ الانحراف المعياري 5. أوجد أصغر حجم عينة n.

σ = 5E = 199%

n =

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 6

r =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (3, 10). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 5(3, 10)

e =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 16,36

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 182/7 = 26

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−16)² + 19² + 16² + (−5)² + 16² + (−14)² + (−16)² = 1606

الانحراف المعياري

s = √(1606/6) = 16,36

الإجابة

s = 16,36

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 2

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (86 − 70)/8 = 2

الإجابة

z = 2

3.الاحتمال

الإجابة: P = 0,7674

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

الحدث المتمم

P(لا ستة) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

الإجابة

P = 0,7674

4.الاحتمال

الإجابة: E(G) = −1 €

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

النتائج الصافية

G: 10 (p = 0,1), 245 (p = 0,01), −5 (p = 0,89)

القيمة المتوقعة

E(G) = 10·0,1 + 245·0,01 − 5·0,89 = −1 €

الإجابة

E(G) = −1 €

القيمة السالبة تعني أنك تخسر مالًا في المتوسط.

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 0,34

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,3669 = 0,6331

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,6331 داخل الجدول واقرأ z.

z = 0,34

الإجابة

z = 0,34

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7389

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

الإجابة

P = 0,7389

7.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 21,06 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

التقدير النقطي

x̄₁ − x̄₂ = 74,5 − 60 = 14,5

الخطأ المعياري

SE = √(17²/60 + 10²/60) = 2,546

هامش الخطأ

E = 2,576·2,546 = 6,559

الفترة

14,5 ± 6,559 → [7,941, 21,06]

الإجابة

الحد الأعلى = 21,06 h

الفترة لا تحتوي على 0، لذا يختلف المتوسطان اختلافًا دالًّا إحصائيًا.

8.فترات الثقة

الإجابة: n = 827

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = (1,96·22/1,5)² = 826,4

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 827

الإجابة

n = 827

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 1,399

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

الخطأ المعياري لمتوسط الفروق

SE = 4,6/√11 = 1,387

إحصائية الاختبار

t = 1,94/1,387 = 1,399

الإجابة

t = 1,399

مع df = 10، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,228؛ و|t| أصغر، لذا لا تُرفض H₀.

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 166

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

حُلّ لإيجاد n

n = (2,576·5/1)² = 165,9

قرّب إلى الأعلى

n = 166

الإجابة

n = 166

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9918

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 135/6 = 22,5

ȳ = 520/6 = 86,67

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 549

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1945

معامل الارتباط

r = 549/√(157,5·1945) = 0,9918

الإجابة

r = 0,9918

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = 5,15

المتوسطات

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 43/5 = 8,6

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 50

خط الانحدار

b = 50/40 = 1,25

a = 8,6 − 1,25·6 = 1,1

ŷ = 1,1 + 1,25·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 1,1 + 1,25·3 = 4,85

البُواقي

e = 10 − 4,85 = 5,15

الإجابة

e = 5,15

تقع النقطة فوق الخط.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1