الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
2مسائل تدريبية
1.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 11, 50, 54, 20, 55.
n = 5
s =
2.الإحصاء الوصفيصعبة
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 12. ما نسبة P القيم الأكبر من 177,2؟
μ = 170σ = 12x = 177,2
P =
3.الاحتمالمتوسطة
يحتوي كيس على 6 كرات حمراء و6 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟
6 / 6
P =
4.الاحتمالصعبة
للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 2X − 3. أوجد الانحراف المعياري σY للمتغير Y.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,15, 0,3, 0,2, 0,05Y = 2X − 3
σY =
5.التوزيع الطبيعيمتوسطة
درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. ما النسبة التي تقع بين 100,75 و 112,75 درجة؟ أعطِ P كعدد عشري.
μ = 100σ = 15x1 = 100,75x2 = 112,75
P =
6.التوزيع الطبيعيصعبة
درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 99% منها (المئين 99).
μ = 100σ = 15P = 99%
x = درجة
7.فترات الثقةمتوسطة
عينة من 9 مفردة متوسطها 37 وانحرافها المعياري s = 5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 99% للمتوسط.
n = 9x̄ = 37s = 599%t(8) = 3,355
الحد الأعلى =
8.فترات الثقةصعبة
الانحراف المعياري للمجتمع 37. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للمتوسط 1 على الأكثر؟
σ = 37E = 195%
n =
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 49 طالبًا متوسط درجاتها 75,4 وانحرافها المعياري 4. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 75,4s = 4n = 49
t =
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 100 مقابل H₁: μ < 100 عند α = 0.01 بعينة من 36؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 9. في الواقع المتوسط 94. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.
μ₀ = 100μ = 94σ = 9n = 36α = 0,01
1 − β = %
11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.
n = 6
r² =
12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 4,5.
n = 5x = 4,5
ŷ =
3المحاليل
1.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 20,87
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 190/5 = 38
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−27)² + 12² + 16² + (−18)² + 17² = 1742
الانحراف المعياري
s = √(1742/4) = 20,87
الإجابة
s = 20,87
2.الإحصاء الوصفي
الإجابة: P = 0,2743
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = 0,6
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
الإجابة
P = 0,2743
3.الاحتمال
الإجابة: P = 0,2273
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
السحبة الأولى والثانية
P = 6/12 · 5/11 = 30/132 = 0,2273
الإجابة
P = 0,2273
4.الاحتمال
الإجابة: σY = 2,488
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
تشتت X
μ = 1,55, Var(X) = 1,547, σX = 1,244
التغيير الخطي
σY = |2|·1,244 = 2,488
الإجابة
σY = 2,488
المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 2·1,55 − 3 = 0,1.
5.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,2824
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
الدرجات المعيارية
z₁ = (100,75 − 100)/15 = 0,05
z₂ = (112,75 − 100)/15 = 0,85
المساحة بين القيمتين
P = Φ(0,85) − Φ(0,05) = 0,8023 − 0,5199 = 0,2824
الإجابة
P = 0,2824
6.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 134,9 درجة
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
قيمة z للمئين
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
العودة إلى x
x = 100 + 2,326·15 = 134,89 درجة
الإجابة
x = 134,89 درجة
7.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأعلى = 42,59
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
القيمة الحرجة
df = n − 1 = 8, t = 3,355
هامش الخطأ
E = 3,355·5/√9 = 5,592
الفترة
37 ± 5,592 → [31,41, 42,59]
الإجابة
الحد الأعلى = 42,59
8.فترات الثقة
الإجابة: n = 5260
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = (1,96·37/1)² = 5259
قرّب إلى الأعلى
حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.
n = 5260
الإجابة
n = 5260
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = 0,7
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 4/√49 = 4/7 = 0,5714
إحصائية الاختبار
t = (75,4 − 75)/0,5714 = 0,7
الإجابة
t = 0,7
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: 1 − β = 95,29 %
قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
متوسط العينة الحرج
SE = 9/√36 = 1,5
x̄c = 100 − 2,326·1,5 = 96,51
z وفق المتوسط الحقيقي
z = (96,51 − 94)/1,5 = 1,674
القدرة
القوة = P(Z < 1.674) = 95.29%
1 − β = 95,29%
الإجابة
1 − β = 95,29%
11.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r² = 0,8118
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 281/6 = 46,83
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 292,8
معامل التحديد
r² = 64,5²/(17,5·292,8) = 0,8118
الإجابة
r² = 0,8118
نحو 81,18% من التباين في y يفسّره الخط.
12.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: ŷ = 57,45
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 264/5 = 52,8
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 31
خط الانحدار
b = 31/10 = 3,1
a = 52,8 − 3,1·3 = 43,5
ŷ = 43,5 + 3,1·x
التنبؤ
ŷ = 43,5 + 3,1·4,5 = 57,45
الإجابة
ŷ = 57,45
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1